Լուծեք {c}{2(3x-y)=2(x-5y)-64}{3(3x-2)-2y=0}

$$\left\{ \begin{array} { c } { 2 ( 3 x - y ) = 2 ( x - 5 y ) - 64 } \\ { 3 ( 3 x - 2 ) - 2 y = 0 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=-1$$

$$y = -\frac{15}{2} = -7\frac{1}{2} = -7.5$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 2 3x-y-ով բազմապատկելու համար:

$$6x-2y=2\left(x-5y\right)-64$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 2 x-5y-ով բազմապատկելու համար:

$$6x-2y=2x-10y-64$$

Հանեք 2x երկու կողմերից:

$$6x-2y-2x=-10y-64$$

Համակցեք 6x և -2x և ստացեք 4x:

$$4x-2y=-10y-64$$

Հավելել 10y-ը երկու կողմերում:

$$4x-2y+10y=-64$$

Համակցեք -2y և 10y և ստացեք 8y:

$$4x+8y=-64$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 3 3x-2-ով բազմապատկելու համար:

$$9x-6-2y=0$$

Հավելել 6-ը երկու կողմերում: Ցանկացած թվին գումարելով զրո ստացվում է նույն թիվը:

$$9x-2y=6$$

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$4x+8y=-64,9x-2y=6$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$4x+8y=-64$$

Հանեք 8y հավասարման երկու կողմից:

$$4x=-8y-64$$

Բաժանեք երկու կողմերը 4-ի:

$$x=\frac{1}{4}\left(-8y-64\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{4} անգամ -8y-64:

$$x=-2y-16$$

Փոխարինեք -2y-16-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 9x-2y=6:

$$9\left(-2y-16\right)-2y=6$$

Բազմապատկեք 9 անգամ -2y-16:

$$-18y-144-2y=6$$

Գումարեք -18y -2y-ին:

$$-20y-144=6$$

Գումարեք 144 հավասարման երկու կողմին:

$$-20y=150$$

Բաժանեք երկու կողմերը -20-ի:

$$y=-\frac{15}{2}$$

Փոխարինեք -\frac{15}{2}-ը y-ով x=-2y-16-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-2\left(-\frac{15}{2}\right)-16$$

Բազմապատկեք -2 անգամ -\frac{15}{2}:

$$x=15-16$$

Գումարեք -16 15-ին:

$$x=-1$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-1,y=-\frac{15}{2}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 2 3x-y-ով բազմապատկելու համար:

$$6x-2y=2\left(x-5y\right)-64$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 2 x-5y-ով բազմապատկելու համար:

$$6x-2y=2x-10y-64$$

Հանեք 2x երկու կողմերից:

$$6x-2y-2x=-10y-64$$

Համակցեք 6x և -2x և ստացեք 4x:

$$4x-2y=-10y-64$$

Հավելել 10y-ը երկու կողմերում:

$$4x-2y+10y=-64$$

Համակցեք -2y և 10y և ստացեք 8y:

$$4x+8y=-64$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 3 3x-2-ով բազմապատկելու համար:

$$9x-6-2y=0$$

Հավելել 6-ը երկու կողմերում: Ցանկացած թվին գումարելով զրո ստացվում է նույն թիվը:

$$9x-2y=6$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$4x+8y=-64,9x-2y=6$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}4&8\\9&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-64\\6\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}4&8\\9&-2\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&8\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&8\\9&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&8\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-64\\6\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&8\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-64\\6\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&8\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-64\\6\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{4\left(-2\right)-8\times 9}&-\frac{8}{4\left(-2\right)-8\times 9}\\-\frac{9}{4\left(-2\right)-8\times 9}&\frac{4}{4\left(-2\right)-8\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-64\\6\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{40}&\frac{1}{10}\\\frac{9}{80}&-\frac{1}{20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-64\\6\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{40}\left(-64\right)+\frac{1}{10}\times 6\\\frac{9}{80}\left(-64\right)-\frac{1}{20}\times 6\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-\frac{15}{2}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=-1,y=-\frac{15}{2}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 2 3x-y-ով բազմապատկելու համար:

$$6x-2y=2\left(x-5y\right)-64$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 2 x-5y-ով բազմապատկելու համար:

$$6x-2y=2x-10y-64$$

Հանեք 2x երկու կողմերից:

$$6x-2y-2x=-10y-64$$

Համակցեք 6x և -2x և ստացեք 4x:

$$4x-2y=-10y-64$$

Հավելել 10y-ը երկու կողմերում:

$$4x-2y+10y=-64$$

Համակցեք -2y և 10y և ստացեք 8y:

$$4x+8y=-64$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 3 3x-2-ով բազմապատկելու համար:

$$9x-6-2y=0$$

Հավելել 6-ը երկու կողմերում: Ցանկացած թվին գումարելով զրո ստացվում է նույն թիվը:

$$9x-2y=6$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$4x+8y=-64,9x-2y=6$$

4x-ը և 9x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 9-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 4-ով:

$$9\times 4x+9\times 8y=9\left(-64\right),4\times 9x+4\left(-2\right)y=4\times 6$$

Պարզեցնել:

$$36x+72y=-576,36x-8y=24$$

Հանեք 36x-8y=24 36x+72y=-576-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$36x-36x+72y+8y=-576-24$$

Գումարեք 36x -36x-ին: 36x-ը և -36x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$72y+8y=-576-24$$

Գումարեք 72y 8y-ին:

$$80y=-576-24$$

Գումարեք -576 -24-ին:

$$80y=-600$$

Բաժանեք երկու կողմերը 80-ի:

$$y=-\frac{15}{2}$$

Փոխարինեք -\frac{15}{2}-ը y-ով 9x-2y=6-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$9x-2\left(-\frac{15}{2}\right)=6$$

Բազմապատկեք -2 անգամ -\frac{15}{2}:

$$9x+15=6$$

Հանեք 15 հավասարման երկու կողմից:

$$9x=-9$$

Բաժանեք երկու կողմերը 9-ի:

$$x=-1$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-1,y=-\frac{15}{2}$$