Լուծեք {c}{-2x-4y=-12}{2x+3y=9}

$$\left\{ \begin{array} { c } { - 2 x - 4 y = - 12 } \\ { 2 x + 3 y = 9 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=0$$

$$y=3$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$-2x-4y=-12,2x+3y=9$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$-2x-4y=-12$$

Գումարեք 4y հավասարման երկու կողմին:

$$-2x=4y-12$$

Բաժանեք երկու կողմերը -2-ի:

$$x=-\frac{1}{2}\left(4y-12\right)$$

Բազմապատկեք -\frac{1}{2} անգամ -12+4y:

$$x=-2y+6$$

Փոխարինեք -2y+6-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 2x+3y=9:

$$2\left(-2y+6\right)+3y=9$$

Բազմապատկեք 2 անգամ -2y+6:

$$-4y+12+3y=9$$

Գումարեք -4y 3y-ին:

$$-y+12=9$$

Հանեք 12 հավասարման երկու կողմից:

$$-y=-3$$

Բաժանեք երկու կողմերը -1-ի:

$$y=3$$

Փոխարինեք 3-ը y-ով x=-2y+6-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-2\times 3+6$$

Բազմապատկեք -2 անգամ 3:

$$x=-6+6$$

Գումարեք 6 -6-ին:

$$x=0$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=0,y=3$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$-2x-4y=-12,2x+3y=9$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}-2&-4\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-12\\9\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}-2&-4\\2&3\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&-4\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&-4\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-4\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\9\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-4\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\9\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-4\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{-2\times 3-\left(-4\times 2\right)}&-\frac{-4}{-2\times 3-\left(-4\times 2\right)}\\-\frac{2}{-2\times 3-\left(-4\times 2\right)}&-\frac{2}{-2\times 3-\left(-4\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\9\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&2\\-1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\9\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}\left(-12\right)+2\times 9\\-\left(-12\right)-9\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\3\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=0,y=3$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$-2x-4y=-12,2x+3y=9$$

-2x-ը և 2x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 2-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ -2-ով:

$$2\left(-2\right)x+2\left(-4\right)y=2\left(-12\right),-2\times 2x-2\times 3y=-2\times 9$$

Պարզեցնել:

$$-4x-8y=-24,-4x-6y=-18$$

Հանեք -4x-6y=-18 -4x-8y=-24-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$-4x+4x-8y+6y=-24+18$$

Գումարեք -4x 4x-ին: -4x-ը և 4x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-8y+6y=-24+18$$

Գումարեք -8y 6y-ին:

$$-2y=-24+18$$

Գումարեք -24 18-ին:

$$-2y=-6$$

Բաժանեք երկու կողմերը -2-ի:

$$y=3$$

Փոխարինեք 3-ը y-ով 2x+3y=9-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$2x+3\times 3=9$$

Բազմապատկեք 3 անգամ 3:

$$2x+9=9$$

Հանեք 9 հավասարման երկու կողմից:

$$2x=0$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$x=0$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=0,y=3$$