Լուծեք {c}{3-2y/4-1/4=1-2x/6}{25/8-1=frac{x+3}{2}-frac{3(1+y)}{8}}

$$\left\{ \begin{array} { c } { \frac { 3 - 2 y } { 4 } - \frac { 1 } { 4 } = \frac { 1 - 2 x } { 6 } } \\ { \frac { 25 } { 8 } - 1 = \frac { x + 3 } { 2 } - \frac { 3 ( 1 + y ) } { 8 } } \end{array} \right.$$

Լուծել y, x-ի համար

$$x=5$$

$$y=4$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հավասարման երկու կողմերը բազմապատկեք 12-ով՝ 4,6-ի ընդհանուր ամենափոքր բազմապատիկով:

$$3\left(3-2y\right)-3=2\left(1-2x\right)$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 3 3-2y-ով բազմապատկելու համար:

$$9-6y-3=2\left(1-2x\right)$$

Հանեք 3 9-ից և ստացեք 6:

$$6-6y=2\left(1-2x\right)$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 2 1-2x-ով բազմապատկելու համար:

$$6-6y=2-4x$$

Հավելել 4x-ը երկու կողմերում:

$$6-6y+4x=2$$

Հանեք 6 երկու կողմերից:

$$-6y+4x=2-6$$

Հանեք 6 2-ից և ստացեք -4:

$$-6y+4x=-4$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հավասարման երկու կողմերը բազմապատկեք 8-ով՝ 8,2-ի ընդհանուր ամենափոքր բազմապատիկով:

$$25-8=4\left(x+3\right)-3\left(1+y\right)$$

Հանեք 8 25-ից և ստացեք 17:

$$17=4\left(x+3\right)-3\left(1+y\right)$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 4 x+3-ով բազմապատկելու համար:

$$17=4x+12-3\left(1+y\right)$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ -3 1+y-ով բազմապատկելու համար:

$$17=4x+12-3-3y$$

Հանեք 3 12-ից և ստացեք 9:

$$17=4x+9-3y$$

Փոխանակեք կողմերը, այնպես որ բոլոր փոփոխական անդամները լինեն ձախ կողմում:

$$4x+9-3y=17$$

Հանեք 9 երկու կողմերից:

$$4x-3y=17-9$$

Հանեք 9 17-ից և ստացեք 8:

$$4x-3y=8$$

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$-6y+4x=-4,-3y+4x=8$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն y-ի համար՝ առանձնացնելով y-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$-6y+4x=-4$$

Հանեք 4x հավասարման երկու կողմից:

$$-6y=-4x-4$$

Բաժանեք երկու կողմերը -6-ի:

$$y=-\frac{1}{6}\left(-4x-4\right)$$

Բազմապատկեք -\frac{1}{6} անգամ -4x-4:

$$y=\frac{2}{3}x+\frac{2}{3}$$

Փոխարինեք \frac{2+2x}{3}-ը y-ով մյուս հավասարման մեջ՝ -3y+4x=8:

$$-3\left(\frac{2}{3}x+\frac{2}{3}\right)+4x=8$$

Բազմապատկեք -3 անգամ \frac{2+2x}{3}:

$$-2x-2+4x=8$$

Գումարեք -2x 4x-ին:

$$2x-2=8$$

Գումարեք 2 հավասարման երկու կողմին:

$$2x=10$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$x=5$$

Փոխարինեք 5-ը x-ով y=\frac{2}{3}x+\frac{2}{3}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես y-ի համար:

$$y=\frac{2}{3}\times 5+\frac{2}{3}$$

Բազմապատկեք \frac{2}{3} անգամ 5:

$$y=\frac{10+2}{3}$$

Գումարեք \frac{2}{3} \frac{10}{3}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$y=4$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$y=4,x=5$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հավասարման երկու կողմերը բազմապատկեք 12-ով՝ 4,6-ի ընդհանուր ամենափոքր բազմապատիկով:

$$3\left(3-2y\right)-3=2\left(1-2x\right)$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 3 3-2y-ով բազմապատկելու համար:

$$9-6y-3=2\left(1-2x\right)$$

Հանեք 3 9-ից և ստացեք 6:

$$6-6y=2\left(1-2x\right)$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 2 1-2x-ով բազմապատկելու համար:

$$6-6y=2-4x$$

Հավելել 4x-ը երկու կողմերում:

$$6-6y+4x=2$$

Հանեք 6 երկու կողմերից:

$$-6y+4x=2-6$$

Հանեք 6 2-ից և ստացեք -4:

$$-6y+4x=-4$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հավասարման երկու կողմերը բազմապատկեք 8-ով՝ 8,2-ի ընդհանուր ամենափոքր բազմապատիկով:

$$25-8=4\left(x+3\right)-3\left(1+y\right)$$

Հանեք 8 25-ից և ստացեք 17:

$$17=4\left(x+3\right)-3\left(1+y\right)$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 4 x+3-ով բազմապատկելու համար:

$$17=4x+12-3\left(1+y\right)$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ -3 1+y-ով բազմապատկելու համար:

$$17=4x+12-3-3y$$

Հանեք 3 12-ից և ստացեք 9:

$$17=4x+9-3y$$

Փոխանակեք կողմերը, այնպես որ բոլոր փոփոխական անդամները լինեն ձախ կողմում:

$$4x+9-3y=17$$

Հանեք 9 երկու կողմերից:

$$4x-3y=17-9$$

Հանեք 9 17-ից և ստացեք 8:

$$4x-3y=8$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$-6y+4x=-4,-3y+4x=8$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}-6&4\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\8\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}-6&4\\-3&4\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}-6&4\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6&4\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&4\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\8\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&4\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\8\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&4\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{-6\times 4-4\left(-3\right)}&-\frac{4}{-6\times 4-4\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{-6\times 4-4\left(-3\right)}&-\frac{6}{-6\times 4-4\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\8\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\-\frac{1}{4}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\8\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\left(-4\right)+\frac{1}{3}\times 8\\-\frac{1}{4}\left(-4\right)+\frac{1}{2}\times 8\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\5\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի y և x տարրերը:

$$y=4,x=5$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հավասարման երկու կողմերը բազմապատկեք 12-ով՝ 4,6-ի ընդհանուր ամենափոքր բազմապատիկով:

$$3\left(3-2y\right)-3=2\left(1-2x\right)$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 3 3-2y-ով բազմապատկելու համար:

$$9-6y-3=2\left(1-2x\right)$$

Հանեք 3 9-ից և ստացեք 6:

$$6-6y=2\left(1-2x\right)$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 2 1-2x-ով բազմապատկելու համար:

$$6-6y=2-4x$$

Հավելել 4x-ը երկու կողմերում:

$$6-6y+4x=2$$

Հանեք 6 երկու կողմերից:

$$-6y+4x=2-6$$

Հանեք 6 2-ից և ստացեք -4:

$$-6y+4x=-4$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հավասարման երկու կողմերը բազմապատկեք 8-ով՝ 8,2-ի ընդհանուր ամենափոքր բազմապատիկով:

$$25-8=4\left(x+3\right)-3\left(1+y\right)$$

Հանեք 8 25-ից և ստացեք 17:

$$17=4\left(x+3\right)-3\left(1+y\right)$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 4 x+3-ով բազմապատկելու համար:

$$17=4x+12-3\left(1+y\right)$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ -3 1+y-ով բազմապատկելու համար:

$$17=4x+12-3-3y$$

Հանեք 3 12-ից և ստացեք 9:

$$17=4x+9-3y$$

Փոխանակեք կողմերը, այնպես որ բոլոր փոփոխական անդամները լինեն ձախ կողմում:

$$4x+9-3y=17$$

Հանեք 9 երկու կողմերից:

$$4x-3y=17-9$$

Հանեք 9 17-ից և ստացեք 8:

$$4x-3y=8$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$-6y+4x=-4,-3y+4x=8$$

Հանեք -3y+4x=8 -6y+4x=-4-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$-6y+3y+4x-4x=-4-8$$

Գումարեք 4x -4x-ին: 4x-ը և -4x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-6y+3y=-4-8$$

Գումարեք -6y 3y-ին:

$$-3y=-4-8$$

Գումարեք -4 -8-ին:

$$-3y=-12$$

Բաժանեք երկու կողմերը -3-ի:

$$y=4$$

Փոխարինեք 4-ը y-ով -3y+4x=8-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$-3\times 4+4x=8$$

Բազմապատկեք -3 անգամ 4:

$$-12+4x=8$$

Գումարեք 12 հավասարման երկու կողմին:

$$4x=20$$

Բաժանեք երկու կողմերը 4-ի:

$$x=5$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$y=4,x=5$$