Լուծեք ∫ (3x^3+5)(5x^2+3x) wrt x

$$\int{ (3 { x }^{ 3 } +5)(5 { x }^{ 2 } +3x) }d x$$

Գնահատել

$$\frac{5x^{6}}{2}+\frac{9x^{5}}{5}+\frac{25x^{3}}{3}+\frac{15x^{2}}{2}+С$$

Լուծման քայլերը

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 3x^{3}+5 5x^{2}+3x-ով բազմապատկելու համար:

$$\int 15x^{5}+9x^{4}+25x^{2}+15x\mathrm{d}x$$

Ամբողջացրեք ընդհանուր անդամը անդամով։

$$\int 15x^{5}\mathrm{d}x+\int 9x^{4}\mathrm{d}x+\int 25x^{2}\mathrm{d}x+\int 15x\mathrm{d}x$$

Դուրս բերեք յուրաքանչյուր անդամի հաստատունը։

$$15\int x^{5}\mathrm{d}x+9\int x^{4}\mathrm{d}x+25\int x^{2}\mathrm{d}x+15\int x\mathrm{d}x$$

Քանի որ \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1 համար, փոխարինեք \int x^{5}\mathrm{d}x-ը \frac{x^{6}}{6}-ով: Բազմապատկեք 15 անգամ \frac{x^{6}}{6}:

$$\frac{5x^{6}}{2}+9\int x^{4}\mathrm{d}x+25\int x^{2}\mathrm{d}x+15\int x\mathrm{d}x$$

Քանի որ \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1 համար, փոխարինեք \int x^{4}\mathrm{d}x-ը \frac{x^{5}}{5}-ով: Բազմապատկեք 9 անգամ \frac{x^{5}}{5}:

$$\frac{5x^{6}}{2}+\frac{9x^{5}}{5}+25\int x^{2}\mathrm{d}x+15\int x\mathrm{d}x$$

Քանի որ \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1 համար, փոխարինեք \int x^{2}\mathrm{d}x-ը \frac{x^{3}}{3}-ով: Բազմապատկեք 25 անգամ \frac{x^{3}}{3}:

$$\frac{5x^{6}}{2}+\frac{9x^{5}}{5}+\frac{25x^{3}}{3}+15\int x\mathrm{d}x$$

Քանի որ \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1 համար, փոխարինեք \int x\mathrm{d}x-ը \frac{x^{2}}{2}-ով: Բազմապատկեք 15 անգամ \frac{x^{2}}{2}:

$$\frac{5x^{6}}{2}+\frac{9x^{5}}{5}+\frac{25x^{3}}{3}+\frac{15x^{2}}{2}$$

Եթե F\left(x\right)-ը f\left(x\right)-ի հակաածանցյալն է, ապաf\left(x\right)-ի բոլոր հակաածանցյալների հավաքածուն տրված է F\left(x\right)+C-ի կողմից։ Հետևաբար, ավելացրեք C\in \mathrm{R} ինտեգրացիայի հաստատունն արդյունքին։

$$\frac{5x^{6}}{2}+\frac{9x^{5}}{5}+\frac{25x^{3}}{3}+\frac{15x^{2}}{2}+С$$

Տարբերակել վերագրած x-ը

$$x\left(5x+3\right)\left(3x^{3}+5\right)$$