Լուծեք ∫ (from 1 to 5) of (15t^3-135t^2+225t)dt=

$$\int _ { 1 } ^ { 5 } ( 15 t ^ { 3 } - 135 t ^ { 2 } + 225 t ) d t =$$

Գնահատել

$$-540$$

Լուծման քայլերը

Նախ գնահատեք անորոշ ինտեգրալը։

$$\int 15t^{3}-135t^{2}+225t\mathrm{d}t$$

Ամբողջացրեք ընդհանուր անդամը անդամով։

$$\int 15t^{3}\mathrm{d}t+\int -135t^{2}\mathrm{d}t+\int 225t\mathrm{d}t$$

Դուրս բերեք յուրաքանչյուր անդամի հաստատունը։

$$15\int t^{3}\mathrm{d}t-135\int t^{2}\mathrm{d}t+225\int t\mathrm{d}t$$

Քանի որ \int t^{k}\mathrm{d}t=\frac{t^{k+1}}{k+1} k\neq -1 համար, փոխարինեք \int t^{3}\mathrm{d}t-ը \frac{t^{4}}{4}-ով: Բազմապատկեք 15 անգամ \frac{t^{4}}{4}:

$$\frac{15t^{4}}{4}-135\int t^{2}\mathrm{d}t+225\int t\mathrm{d}t$$

Քանի որ \int t^{k}\mathrm{d}t=\frac{t^{k+1}}{k+1} k\neq -1 համար, փոխարինեք \int t^{2}\mathrm{d}t-ը \frac{t^{3}}{3}-ով: Բազմապատկեք -135 անգամ \frac{t^{3}}{3}:

$$\frac{15t^{4}}{4}-45t^{3}+225\int t\mathrm{d}t$$

Քանի որ \int t^{k}\mathrm{d}t=\frac{t^{k+1}}{k+1} k\neq -1 համար, փոխարինեք \int t\mathrm{d}t-ը \frac{t^{2}}{2}-ով: Բազմապատկեք 225 անգամ \frac{t^{2}}{2}:

$$\frac{15t^{4}}{4}-45t^{3}+\frac{225t^{2}}{2}$$

Որոշյալ ինտեգրալը արտահայտության պարզ ֆունկցիան է՝ հաշվարկված ինտեգրացիայի վերին սահմանաչափով, հանած պարզ ֆունկցիան՝ հաշվարկված ինտեգրացիայի ստորին սահմանաչափում:

$$\frac{15}{4}\times 5^{4}-45\times 5^{3}+\frac{225}{2}\times 5^{2}-\left(\frac{15}{4}\times 1^{4}-45\times 1^{3}+\frac{225}{2}\times 1^{2}\right)$$

Պարզեցնել:

$$-540$$