Լուծեք ∫ (x+1)(2x+2)(x+1)

$$\int ( x + 1 ) ( 2 x + 2 ) ( x + 1 )$$

Գնահատել

$$\frac{x^{4}}{2}+2x^{3}+3x^{2}+2x+С$$

Լուծման քայլերը

Բազմապատկեք x+1 և x+1-ով և ստացեք \left(x+1\right)^{2}:

$$\int \left(x+1\right)^{2}\left(2x+2\right)\mathrm{d}x$$

Նյուտոնի երկանդամի \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} միջոցով ընդարձակեք \left(x+1\right)^{2}:

$$\int \left(x^{2}+2x+1\right)\left(2x+2\right)\mathrm{d}x$$

Գործադրեք բաժանիչ հատկությունը՝ բազմապատկելով x^{2}+2x+1-ի յուրաքանչյուր արտահայտությունը 2x+2-ի յուրաքանչյուր արտահայտությամբ:

$$\int 2x^{3}+2x^{2}+4x^{2}+4x+2x+2\mathrm{d}x$$

Համակցեք 2x^{2} և 4x^{2} և ստացեք 6x^{2}:

$$\int 2x^{3}+6x^{2}+4x+2x+2\mathrm{d}x$$

Համակցեք 4x և 2x և ստացեք 6x:

$$\int 2x^{3}+6x^{2}+6x+2\mathrm{d}x$$

Ամբողջացրեք ընդհանուր անդամը անդամով։

$$\int 2x^{3}\mathrm{d}x+\int 6x^{2}\mathrm{d}x+\int 6x\mathrm{d}x+\int 2\mathrm{d}x$$

Դուրս բերեք յուրաքանչյուր անդամի հաստատունը։

$$2\int x^{3}\mathrm{d}x+6\int x^{2}\mathrm{d}x+6\int x\mathrm{d}x+\int 2\mathrm{d}x$$

Քանի որ \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1 համար, փոխարինեք \int x^{3}\mathrm{d}x-ը \frac{x^{4}}{4}-ով: Բազմապատկեք 2 անգամ \frac{x^{4}}{4}:

$$\frac{x^{4}}{2}+6\int x^{2}\mathrm{d}x+6\int x\mathrm{d}x+\int 2\mathrm{d}x$$

Քանի որ \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1 համար, փոխարինեք \int x^{2}\mathrm{d}x-ը \frac{x^{3}}{3}-ով: Բազմապատկեք 6 անգամ \frac{x^{3}}{3}:

$$\frac{x^{4}}{2}+2x^{3}+6\int x\mathrm{d}x+\int 2\mathrm{d}x$$

Քանի որ \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1 համար, փոխարինեք \int x\mathrm{d}x-ը \frac{x^{2}}{2}-ով: Բազմապատկեք 6 անգամ \frac{x^{2}}{2}:

$$\frac{x^{4}}{2}+2x^{3}+3x^{2}+\int 2\mathrm{d}x$$

Գտեք 2-ի ինտեգրալը՝ օգտագործելով ընդհանուր ինտեգրալների \int a\mathrm{d}x=ax կանոնի աղյուսակը։

$$\frac{x^{4}}{2}+2x^{3}+3x^{2}+2x$$

Եթե F\left(x\right)-ը f\left(x\right)-ի հակաածանցյալն է, ապաf\left(x\right)-ի բոլոր հակաածանցյալների հավաքածուն տրված է F\left(x\right)+C-ի կողմից։ Հետևաբար, ավելացրեք C\in \mathrm{R} ինտեգրացիայի հաստատունն արդյունքին։

$$3x^{2}+2x^{3}+\frac{x^{4}}{2}+2x+С$$

Տարբերակել վերագրած x-ը

$$2\left(x+1\right)^{3}$$