Լուծեք frac{6(k^{2}+1)^{2}-(3k^2-1)^2}{(3k^2+1)^2}=5/4

$$\frac { 6 ( k ^ { 2 } + 1 ) ^ { 2 } - ( 3 k ^ { 2 } - 1 ) ^ { 2 } } { ( 3 k ^ { 2 } + 1 ) ^ { 2 } } = \frac { 5 } { 4 }$$

Լուծել k-ի համար

$$k=-1$$

$$k=1$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է քառակուսու բանաձևը

Հավասարման երկու կողմերը բազմապատկեք 4\left(3k^{2}+1\right)^{2}-ով՝ \left(3k^{2}+1\right)^{2},4-ի ընդհանուր ամենափոքր բազմապատիկով:

$$4\left(6\left(k^{2}+1\right)^{2}-\left(3k^{2}-1\right)^{2}\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

Նյուտոնի երկանդամի \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} միջոցով ընդարձակեք \left(k^{2}+1\right)^{2}:

$$4\left(6\left(\left(k^{2}\right)^{2}+2k^{2}+1\right)-\left(3k^{2}-1\right)^{2}\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

Թվի աստիճանը այլ աստիճան բարձրացնելու համար բազմապատկեք ցուցիչները: Բազմապատկեք 2-ը և 2-ը և ստացեք 4-ը:

$$4\left(6\left(k^{4}+2k^{2}+1\right)-\left(3k^{2}-1\right)^{2}\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 6 k^{4}+2k^{2}+1-ով բազմապատկելու համար:

$$4\left(6k^{4}+12k^{2}+6-\left(3k^{2}-1\right)^{2}\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

Նյուտոնի երկանդամի \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} միջոցով ընդարձակեք \left(3k^{2}-1\right)^{2}:

$$4\left(6k^{4}+12k^{2}+6-\left(9\left(k^{2}\right)^{2}-6k^{2}+1\right)\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

Թվի աստիճանը այլ աստիճան բարձրացնելու համար բազմապատկեք ցուցիչները: Բազմապատկեք 2-ը և 2-ը և ստացեք 4-ը:

$$4\left(6k^{4}+12k^{2}+6-\left(9k^{4}-6k^{2}+1\right)\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

9k^{4}-6k^{2}+1-ի հակադարձը գտնելու համար գտեք յուրաքանչյուր տերմինի հակադարձը:

$$4\left(6k^{4}+12k^{2}+6-9k^{4}+6k^{2}-1\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

Համակցեք 6k^{4} և -9k^{4} և ստացեք -3k^{4}:

$$4\left(-3k^{4}+12k^{2}+6+6k^{2}-1\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

Համակցեք 12k^{2} և 6k^{2} և ստացեք 18k^{2}:

$$4\left(-3k^{4}+18k^{2}+6-1\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

Հանեք 1 6-ից և ստացեք 5:

$$4\left(-3k^{4}+18k^{2}+5\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 4 -3k^{4}+18k^{2}+5-ով բազմապատկելու համար:

$$-12k^{4}+72k^{2}+20=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

Նյուտոնի երկանդամի \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} միջոցով ընդարձակեք \left(3k^{2}+1\right)^{2}:

$$-12k^{4}+72k^{2}+20=5\left(9\left(k^{2}\right)^{2}+6k^{2}+1\right)$$

Թվի աստիճանը այլ աստիճան բարձրացնելու համար բազմապատկեք ցուցիչները: Բազմապատկեք 2-ը և 2-ը և ստացեք 4-ը:

$$-12k^{4}+72k^{2}+20=5\left(9k^{4}+6k^{2}+1\right)$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 5 9k^{4}+6k^{2}+1-ով բազմապատկելու համար:

$$-12k^{4}+72k^{2}+20=45k^{4}+30k^{2}+5$$

Հանեք 45k^{4} երկու կողմերից:

$$-12k^{4}+72k^{2}+20-45k^{4}=30k^{2}+5$$

Համակցեք -12k^{4} և -45k^{4} և ստացեք -57k^{4}:

$$-57k^{4}+72k^{2}+20=30k^{2}+5$$

Հանեք 30k^{2} երկու կողմերից:

$$-57k^{4}+72k^{2}+20-30k^{2}=5$$

Համակցեք 72k^{2} և -30k^{2} և ստացեք 42k^{2}:

$$-57k^{4}+42k^{2}+20=5$$

Հանեք 5 երկու կողմերից:

$$-57k^{4}+42k^{2}+20-5=0$$

Հանեք 5 20-ից և ստացեք 15:

$$-57k^{4}+42k^{2}+15=0$$

Փոխարինեք t-ը k^{2}-ով:

$$-57t^{2}+42t+15=0$$

Հետևյալ ձևի բոլոր հավասարումները՝ ax^{2}+bx+c=0 կարող են լուծվել քառ. հավ. արմ. բանաձևի միջոցով՝ \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}: Քառ. հավ. արմ. բանաձևում փոխարինեք -57-ը a-ով, 42-ը b-ով և 15-ը c-ով:

$$t=\frac{-42±\sqrt{42^{2}-4\left(-57\right)\times 15}}{-57\times 2}$$

Կատարեք հաշվարկումներ:

$$t=\frac{-42±72}{-114}$$

Լուծեք t=\frac{-42±72}{-114} հավասարումը, երբ ±-ը գումարած է և երբ ±-ը հանած է:

$$t=-\frac{5}{19} t=1$$

Քանի որ k=t^{2}, լուծումները ստացվում են գնահատելով k=±\sqrt{t}-ը դրական t-ի համար:

$$k=1 k=-1$$

Լուծել k-ի համար (complex solution)

$$k=\frac{\sqrt{95}i}{19}\approx 0.512989176i$$

$$k=-\frac{\sqrt{95}i}{19}\approx -0-0.512989176i$$

$$k=-1$$

$$k=1$$