z^2=z+1 megoldása

$$z ^ { 2 } = z + 1$$

Megoldás a(z) z változóra

$$z = \frac{\sqrt{5} + 1}{2} \approx 1,618033989$$

$$z=\frac{1-\sqrt{5}}{2}\approx -0,618033989$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: z.

$$z^{2}-z=1$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 1.

$$z^{2}-z-1=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 1 értéket a-ba, a(z) -1 értéket b-be és a(z) -1 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$z=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\left(-1\right)}}{2}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és -1.

$$z=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+4}}{2}$$

Összeadjuk a következőket: 1 és 4.

$$z=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{5}}{2}$$

-1 ellentettje 1.

$$z=\frac{1±\sqrt{5}}{2}$$

Megoldjuk az egyenletet (z=\frac{1±\sqrt{5}}{2}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 1 és \sqrt{5}.

$$z=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$

Megoldjuk az egyenletet (z=\frac{1±\sqrt{5}}{2}). ± előjele negatív. \sqrt{5} kivonása a következőből: 1.

$$z=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$z=\frac{\sqrt{5}+1}{2} z=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: z.

$$z^{2}-z=1$$

Elosztjuk a(z) -1 értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{1}{2}. Ezután hozzáadjuk -\frac{1}{2} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$z^{2}-z+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=1+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{1}{2} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$z^{2}-z+\frac{1}{4}=1+\frac{1}{4}$$

Összeadjuk a következőket: 1 és \frac{1}{4}.

$$z^{2}-z+\frac{1}{4}=\frac{5}{4}$$

Tényezőkre z^{2}-z+\frac{1}{4}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(z-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{5}{4}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(z-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{5}{4}}$$

Egyszerűsítünk.

$$z-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{5}}{2} z-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{5}}{2}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{1}{2}.

$$z=\frac{\sqrt{5}+1}{2} z=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$