z^2+3z-30=(2z+5)(z+6) megoldása

$$z ^ { 2 } + 3 z - 30 = ( 2 z + 5 ) ( z + 6 )$$

Megoldás a(z) z változóra

$$z=-\sqrt{11}i-7\approx -7-3,31662479i$$

$$z=-7+\sqrt{11}i\approx -7+3,31662479i$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a kifejezéseket (2z+5 és z+6), majd összevonjuk az egynemű tagokat.

$$z^{2}+3z-30=2z^{2}+17z+30$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 2z^{2}.

$$z^{2}+3z-30-2z^{2}=17z+30$$

Összevonjuk a következőket: z^{2} és -2z^{2}. Az eredmény -z^{2}.

$$-z^{2}+3z-30=17z+30$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 17z.

$$-z^{2}+3z-30-17z=30$$

Összevonjuk a következőket: 3z és -17z. Az eredmény -14z.

$$-z^{2}-14z-30=30$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 30.

$$-z^{2}-14z-30-30=0$$

Kivonjuk a(z) 30 értékből a(z) -30 értéket. Az eredmény -60.

$$-z^{2}-14z-60=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) -1 értéket a-ba, a(z) -14 értéket b-be és a(z) -60 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$z=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\left(-1\right)\left(-60\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -14.

$$z=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\left(-1\right)\left(-60\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és -1.

$$z=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196+4\left(-60\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: 4 és -60.

$$z=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-240}}{2\left(-1\right)}$$

Összeadjuk a következőket: 196 és -240.

$$z=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{-44}}{2\left(-1\right)}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: -44.

$$z=\frac{-\left(-14\right)±2\sqrt{11}i}{2\left(-1\right)}$$

-14 ellentettje 14.

$$z=\frac{14±2\sqrt{11}i}{2\left(-1\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és -1.

$$z=\frac{14±2\sqrt{11}i}{-2}$$

Megoldjuk az egyenletet (z=\frac{14±2\sqrt{11}i}{-2}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 14 és 2i\sqrt{11}.

$$z=\frac{14+2\sqrt{11}i}{-2}$$

14+2i\sqrt{11} elosztása a következővel: -2.

$$z=-\sqrt{11}i-7$$

Megoldjuk az egyenletet (z=\frac{14±2\sqrt{11}i}{-2}). ± előjele negatív. 2i\sqrt{11} kivonása a következőből: 14.

$$z=\frac{-2\sqrt{11}i+14}{-2}$$

14-2i\sqrt{11} elosztása a következővel: -2.

$$z=-7+\sqrt{11}i$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$z=-\sqrt{11}i-7 z=-7+\sqrt{11}i$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a kifejezéseket (2z+5 és z+6), majd összevonjuk az egynemű tagokat.

$$z^{2}+3z-30=2z^{2}+17z+30$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 2z^{2}.

$$z^{2}+3z-30-2z^{2}=17z+30$$

Összevonjuk a következőket: z^{2} és -2z^{2}. Az eredmény -z^{2}.

$$-z^{2}+3z-30=17z+30$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 17z.

$$-z^{2}+3z-30-17z=30$$

Összevonjuk a következőket: 3z és -17z. Az eredmény -14z.

$$-z^{2}-14z-30=30$$

Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: 30.

$$-z^{2}-14z=30+30$$

Összeadjuk a következőket: 30 és 30. Az eredmény 60.

$$-z^{2}-14z=60$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: -1.

$$\frac{-z^{2}-14z}{-1}=\frac{60}{-1}$$

A(z) -1 értékkel való osztás eltünteti a(z) -1 értékkel való szorzást.

$$z^{2}+\left(-\frac{14}{-1}\right)z=\frac{60}{-1}$$

-14 elosztása a következővel: -1.

$$z^{2}+14z=\frac{60}{-1}$$

60 elosztása a következővel: -1.

$$z^{2}+14z=-60$$

Elosztjuk a(z) 14 értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye 7. Ezután hozzáadjuk 7 négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$z^{2}+14z+7^{2}=-60+7^{2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 7.

$$z^{2}+14z+49=-60+49$$

Összeadjuk a következőket: -60 és 49.

$$z^{2}+14z+49=-11$$

Tényezőkre z^{2}+14z+49. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(z+7\right)^{2}=-11$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(z+7\right)^{2}}=\sqrt{-11}$$

Egyszerűsítünk.

$$z+7=\sqrt{11}i z+7=-\sqrt{11}i$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 7.

$$z=-7+\sqrt{11}i z=-\sqrt{11}i-7$$