x^2+31x-360=0 megoldása

$$x ^ { 2 } + 31 x - 360 = 0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=-40$$

$$x=9$$

A tényezőkre bontás lépései

Az egyenlet megoldásához x^{2}+31x-360 a képlet használatával x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). A a és b megkereséséhez állítson be egy rendszer-egy rendszert.

$$a+b=31 ab=-360$$

Mivel a ab negatív, a és b rendelkezik a megfelelő előjel között. Mivel a a+b pozitív, a pozitív szám nagyobb abszolút értéket tartalmaz, mint a negatív érték. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata -360.

$$-1,360 -2,180 -3,120 -4,90 -5,72 -6,60 -8,45 -9,40 -10,36 -12,30 -15,24 -18,20$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$-1+360=359 -2+180=178 -3+120=117 -4+90=86 -5+72=67 -6+60=54 -8+45=37 -9+40=31 -10+36=26 -12+30=18 -15+24=9 -18+20=2$$

A megoldás az a pár, amelynek összege 31.

$$a=-9 b=40$$

Az eredményül kapott értékeket használva átírjuk a tényezőkre bontott \left(x+a\right)\left(x+b\right) kifejezést.

$$\left(x-9\right)\left(x+40\right)$$

Az egyenletmegoldások kereséséhez, a x-9=0 és a x+40=0.

$$x=9 x=-40$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk x^{2}+ax+bx-360 alakúvá. A a és b megkereséséhez állítson be egy rendszer-egy rendszert.

$$a+b=31 ab=1\left(-360\right)=-360$$

Mivel a ab negatív, a és b rendelkezik a megfelelő előjel között. Mivel a a+b pozitív, a pozitív szám nagyobb abszolút értéket tartalmaz, mint a negatív érték. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata -360.

$$-1,360 -2,180 -3,120 -4,90 -5,72 -6,60 -8,45 -9,40 -10,36 -12,30 -15,24 -18,20$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$-1+360=359 -2+180=178 -3+120=117 -4+90=86 -5+72=67 -6+60=54 -8+45=37 -9+40=31 -10+36=26 -12+30=18 -15+24=9 -18+20=2$$

A megoldás az a pár, amelynek összege 31.

$$a=-9 b=40$$

Átírjuk az értéket (x^{2}+31x-360) \left(x^{2}-9x\right)+\left(40x-360\right) alakban.

$$\left(x^{2}-9x\right)+\left(40x-360\right)$$

A x a második csoportban lévő első és 40 faktort.

$$x\left(x-9\right)+40\left(x-9\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) x-9 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(x-9\right)\left(x+40\right)$$

Az egyenletmegoldások kereséséhez, a x-9=0 és a x+40=0.

$$x=9 x=-40$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$x^{2}+31x-360=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 1 értéket a-ba, a(z) 31 értéket b-be és a(z) -360 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-31±\sqrt{31^{2}-4\left(-360\right)}}{2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 31.

$$x=\frac{-31±\sqrt{961-4\left(-360\right)}}{2}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és -360.

$$x=\frac{-31±\sqrt{961+1440}}{2}$$

Összeadjuk a következőket: 961 és 1440.

$$x=\frac{-31±\sqrt{2401}}{2}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 2401.

$$x=\frac{-31±49}{2}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-31±49}{2}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -31 és 49.

$$x=\frac{18}{2}$$

18 elosztása a következővel: 2.

$$x=9$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-31±49}{2}). ± előjele negatív. 49 kivonása a következőből: -31.

$$x=-\frac{80}{2}$$

-80 elosztása a következővel: 2.

$$x=-40$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=9 x=-40$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$x^{2}+31x-360=0$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 360.

$$x^{2}+31x-360-\left(-360\right)=-\left(-360\right)$$

Ha kivonjuk a(z) -360 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$x^{2}+31x=-\left(-360\right)$$

-360 kivonása a következőből: 0.

$$x^{2}+31x=360$$

Elosztjuk a(z) 31 értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye \frac{31}{2}. Ezután hozzáadjuk \frac{31}{2} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}+31x+\left(\frac{31}{2}\right)^{2}=360+\left(\frac{31}{2}\right)^{2}$$

A(z) \frac{31}{2} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}+31x+\frac{961}{4}=360+\frac{961}{4}$$

Összeadjuk a következőket: 360 és \frac{961}{4}.

$$x^{2}+31x+\frac{961}{4}=\frac{2401}{4}$$

Tényezőkre x^{2}+31x+\frac{961}{4}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x+\frac{31}{2}\right)^{2}=\frac{2401}{4}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x+\frac{31}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2401}{4}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x+\frac{31}{2}=\frac{49}{2} x+\frac{31}{2}=-\frac{49}{2}$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{31}{2}.

$$x=9 x=-40$$