x^2+20x+120=0 megoldása

$$x ^ { 2 } + 20 x + 120 = 0$$

Megoldás a(z) x változóra (complex solution)

$$x=-10+2\sqrt{5}i\approx -10+4,472135955i$$

$$x=-2\sqrt{5}i-10\approx -10-4,472135955i$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$x^{2}+20x+120=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 1 értéket a-ba, a(z) 20 értéket b-be és a(z) 120 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-20±\sqrt{20^{2}-4\times 120}}{2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 20.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-4\times 120}}{2}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 120.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-480}}{2}$$

Összeadjuk a következőket: 400 és -480.

$$x=\frac{-20±\sqrt{-80}}{2}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: -80.

$$x=\frac{-20±4\sqrt{5}i}{2}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-20±4\sqrt{5}i}{2}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -20 és 4i\sqrt{5}.

$$x=\frac{-20+4\sqrt{5}i}{2}$$

-20+4i\sqrt{5} elosztása a következővel: 2.

$$x=-10+2\sqrt{5}i$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-20±4\sqrt{5}i}{2}). ± előjele negatív. 4i\sqrt{5} kivonása a következőből: -20.

$$x=\frac{-4\sqrt{5}i-20}{2}$$

-20-4i\sqrt{5} elosztása a következővel: 2.

$$x=-2\sqrt{5}i-10$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=-10+2\sqrt{5}i x=-2\sqrt{5}i-10$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$x^{2}+20x+120=0$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 120.

$$x^{2}+20x+120-120=-120$$

Ha kivonjuk a(z) 120 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$x^{2}+20x=-120$$

Elosztjuk a(z) 20 értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye 10. Ezután hozzáadjuk 10 négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}+20x+10^{2}=-120+10^{2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 10.

$$x^{2}+20x+100=-120+100$$

Összeadjuk a következőket: -120 és 100.

$$x^{2}+20x+100=-20$$

Tényezőkre x^{2}+20x+100. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x+10\right)^{2}=-20$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x+10\right)^{2}}=\sqrt{-20}$$

Egyszerűsítünk.

$$x+10=2\sqrt{5}i x+10=-2\sqrt{5}i$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 10.

$$x=-10+2\sqrt{5}i x=-2\sqrt{5}i-10$$