x^2+(x+3/2)^2-8x-2(x+3/2)+7=0 megoldása

$$x ^ { 2 } + ( \frac { x + 3 } { 2 } ) ^ { 2 } - 8 x - 2 ( \frac { x + 3 } { 2 } ) + 7 = 0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=1$$

$$x=5$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk a következővel: 2.

$$2\left(x^{2}+\left(\frac{x+3}{2}\right)^{2}-8x-2\times \frac{x+3}{2}\right)+14=0$$

A hányados (\frac{x+3}{2}) hatványozásához emelje hatványra mind a számlálót, mind pedig a nevezőt, majd végezze el az osztást.

$$2\left(x^{2}+\frac{\left(x+3\right)^{2}}{2^{2}}-8x-2\times \frac{x+3}{2}\right)+14=0$$

Kifejezések összeadásához vagy kivonásához bontsa ki őket, hogy ugyanaz legyen a nevezőjük. Összeszorozzuk a következőket: x^{2}-8x és \frac{2^{2}}{2^{2}}.

$$2\left(\frac{\left(x^{2}-8x\right)\times 2^{2}}{2^{2}}+\frac{\left(x+3\right)^{2}}{2^{2}}-2\times \frac{x+3}{2}\right)+14=0$$

Mivel \frac{\left(x^{2}-8x\right)\times 2^{2}}{2^{2}} és \frac{\left(x+3\right)^{2}}{2^{2}} nevezője ugyanaz, az összeadásukhoz összeadjuk a számlálójukat.

$$2\left(\frac{\left(x^{2}-8x\right)\times 2^{2}+\left(x+3\right)^{2}}{2^{2}}-2\times \frac{x+3}{2}\right)+14=0$$

Elvégezzük a képletben (\left(x^{2}-8x\right)\times 2^{2}+\left(x+3\right)^{2}) szereplő szorzásokat.

$$2\left(\frac{4x^{2}-32x+x^{2}+6x+9}{2^{2}}-2\times \frac{x+3}{2}\right)+14=0$$

Összevonjuk a kifejezésben (4x^{2}-32x+x^{2}+6x+9) szereplő egynemű tagokat.

$$2\left(\frac{5x^{2}-26x+9}{2^{2}}-2\times \frac{x+3}{2}\right)+14=0$$

Kifejezzük a hányadost (2\times \frac{x+3}{2}) egyetlen törtként.

$$2\left(\frac{5x^{2}-26x+9}{2^{2}}-\frac{2\left(x+3\right)}{2}\right)+14=0$$

Kiejtjük ezt a két értéket: 2 és 2.

$$2\left(\frac{5x^{2}-26x+9}{2^{2}}-\left(x+3\right)\right)+14=0$$

x+3 ellentettjének meghatározásához megkeressük az egyes tagok ellentettjét.

$$2\left(\frac{5x^{2}-26x+9}{2^{2}}-x-3\right)+14=0$$

Kifejezések összeadásához vagy kivonásához bontsa ki őket, hogy ugyanaz legyen a nevezőjük. Összeszorozzuk a következőket: -x-3 és \frac{2^{2}}{2^{2}}.

$$2\left(\frac{5x^{2}-26x+9}{2^{2}}+\frac{\left(-x-3\right)\times 2^{2}}{2^{2}}\right)+14=0$$

Mivel \frac{5x^{2}-26x+9}{2^{2}} és \frac{\left(-x-3\right)\times 2^{2}}{2^{2}} nevezője ugyanaz, az összeadásukhoz összeadjuk a számlálójukat.

$$2\times \frac{5x^{2}-26x+9+\left(-x-3\right)\times 2^{2}}{2^{2}}+14=0$$

Elvégezzük a képletben (5x^{2}-26x+9+\left(-x-3\right)\times 2^{2}) szereplő szorzásokat.

$$2\times \frac{5x^{2}-26x+9-4x-12}{2^{2}}+14=0$$

Összevonjuk a kifejezésben (5x^{2}-26x+9-4x-12) szereplő egynemű tagokat.

$$2\times \frac{5x^{2}-30x-3}{2^{2}}+14=0$$

Kifejezzük a hányadost (2\times \frac{5x^{2}-30x-3}{2^{2}}) egyetlen törtként.

$$\frac{2\left(5x^{2}-30x-3\right)}{2^{2}}+14=0$$

Kiejtjük ezt az értéket a számlálóban és a nevezőben is: 2.

$$\frac{5x^{2}-30x-3}{2}+14=0$$

Elosztjuk a kifejezés (5x^{2}-30x-3) minden tagját a(z) 2 értékkel. Az eredmény \frac{5}{2}x^{2}-15x-\frac{3}{2}.

$$\frac{5}{2}x^{2}-15x-\frac{3}{2}+14=0$$

Összeadjuk a következőket: -\frac{3}{2} és 14. Az eredmény \frac{25}{2}.

$$\frac{5}{2}x^{2}-15x+\frac{25}{2}=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) \frac{5}{2} értéket a-ba, a(z) -15 értéket b-be és a(z) \frac{25}{2} értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{\left(-15\right)^{2}-4\times \frac{5}{2}\times \frac{25}{2}}}{2\times \frac{5}{2}}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -15.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-4\times \frac{5}{2}\times \frac{25}{2}}}{2\times \frac{5}{2}}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és \frac{5}{2}.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-10\times \frac{25}{2}}}{2\times \frac{5}{2}}$$

Összeszorozzuk a következőket: -10 és \frac{25}{2}.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-125}}{2\times \frac{5}{2}}$$

Összeadjuk a következőket: 225 és -125.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{100}}{2\times \frac{5}{2}}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 100.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±10}{2\times \frac{5}{2}}$$

-15 ellentettje 15.

$$x=\frac{15±10}{2\times \frac{5}{2}}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és \frac{5}{2}.

$$x=\frac{15±10}{5}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{15±10}{5}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 15 és 10.

$$x=\frac{25}{5}$$

25 elosztása a következővel: 5.

$$x=5$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{15±10}{5}). ± előjele negatív. 10 kivonása a következőből: 15.

$$x=\frac{5}{5}$$

5 elosztása a következővel: 5.

$$x=1$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=5 x=1$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk a következővel: 2.

$$2\left(x^{2}+\left(\frac{x+3}{2}\right)^{2}-8x-2\times \frac{x+3}{2}\right)+14=0$$

A hányados (\frac{x+3}{2}) hatványozásához emelje hatványra mind a számlálót, mind pedig a nevezőt, majd végezze el az osztást.

$$2\left(x^{2}+\frac{\left(x+3\right)^{2}}{2^{2}}-8x-2\times \frac{x+3}{2}\right)+14=0$$

Kifejezések összeadásához vagy kivonásához bontsa ki őket, hogy ugyanaz legyen a nevezőjük. Összeszorozzuk a következőket: x^{2}-8x és \frac{2^{2}}{2^{2}}.

$$2\left(\frac{\left(x^{2}-8x\right)\times 2^{2}}{2^{2}}+\frac{\left(x+3\right)^{2}}{2^{2}}-2\times \frac{x+3}{2}\right)+14=0$$

Mivel \frac{\left(x^{2}-8x\right)\times 2^{2}}{2^{2}} és \frac{\left(x+3\right)^{2}}{2^{2}} nevezője ugyanaz, az összeadásukhoz összeadjuk a számlálójukat.

$$2\left(\frac{\left(x^{2}-8x\right)\times 2^{2}+\left(x+3\right)^{2}}{2^{2}}-2\times \frac{x+3}{2}\right)+14=0$$

Elvégezzük a képletben (\left(x^{2}-8x\right)\times 2^{2}+\left(x+3\right)^{2}) szereplő szorzásokat.

$$2\left(\frac{4x^{2}-32x+x^{2}+6x+9}{2^{2}}-2\times \frac{x+3}{2}\right)+14=0$$

Összevonjuk a kifejezésben (4x^{2}-32x+x^{2}+6x+9) szereplő egynemű tagokat.

$$2\left(\frac{5x^{2}-26x+9}{2^{2}}-2\times \frac{x+3}{2}\right)+14=0$$

Kifejezzük a hányadost (2\times \frac{x+3}{2}) egyetlen törtként.

$$2\left(\frac{5x^{2}-26x+9}{2^{2}}-\frac{2\left(x+3\right)}{2}\right)+14=0$$

Kiejtjük ezt a két értéket: 2 és 2.

$$2\left(\frac{5x^{2}-26x+9}{2^{2}}-\left(x+3\right)\right)+14=0$$

x+3 ellentettjének meghatározásához megkeressük az egyes tagok ellentettjét.

$$2\left(\frac{5x^{2}-26x+9}{2^{2}}-x-3\right)+14=0$$

Kifejezések összeadásához vagy kivonásához bontsa ki őket, hogy ugyanaz legyen a nevezőjük. Összeszorozzuk a következőket: -x-3 és \frac{2^{2}}{2^{2}}.

$$2\left(\frac{5x^{2}-26x+9}{2^{2}}+\frac{\left(-x-3\right)\times 2^{2}}{2^{2}}\right)+14=0$$

Mivel \frac{5x^{2}-26x+9}{2^{2}} és \frac{\left(-x-3\right)\times 2^{2}}{2^{2}} nevezője ugyanaz, az összeadásukhoz összeadjuk a számlálójukat.

$$2\times \frac{5x^{2}-26x+9+\left(-x-3\right)\times 2^{2}}{2^{2}}+14=0$$

Elvégezzük a képletben (5x^{2}-26x+9+\left(-x-3\right)\times 2^{2}) szereplő szorzásokat.

$$2\times \frac{5x^{2}-26x+9-4x-12}{2^{2}}+14=0$$

Összevonjuk a kifejezésben (5x^{2}-26x+9-4x-12) szereplő egynemű tagokat.

$$2\times \frac{5x^{2}-30x-3}{2^{2}}+14=0$$

Kifejezzük a hányadost (2\times \frac{5x^{2}-30x-3}{2^{2}}) egyetlen törtként.

$$\frac{2\left(5x^{2}-30x-3\right)}{2^{2}}+14=0$$

Kiejtjük ezt az értéket a számlálóban és a nevezőben is: 2.

$$\frac{5x^{2}-30x-3}{2}+14=0$$

Elosztjuk a kifejezés (5x^{2}-30x-3) minden tagját a(z) 2 értékkel. Az eredmény \frac{5}{2}x^{2}-15x-\frac{3}{2}.

$$\frac{5}{2}x^{2}-15x-\frac{3}{2}+14=0$$

Összeadjuk a következőket: -\frac{3}{2} és 14. Az eredmény \frac{25}{2}.

$$\frac{5}{2}x^{2}-15x+\frac{25}{2}=0$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: \frac{25}{2}. Ha nullából von ki számot, annak ellentettjét kapja.

$$\frac{5}{2}x^{2}-15x=-\frac{25}{2}$$

Az egyenlet mindkét oldalát elosztjuk a következővel: \frac{5}{2}. Ez ugyanaz, mintha mindkét oldalt megszoroznánk a tört reciprokával.

$$\frac{\frac{5}{2}x^{2}-15x}{\frac{5}{2}}=-\frac{\frac{25}{2}}{\frac{5}{2}}$$

A(z) \frac{5}{2} értékkel való osztás eltünteti a(z) \frac{5}{2} értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\left(-\frac{15}{\frac{5}{2}}\right)x=-\frac{\frac{25}{2}}{\frac{5}{2}}$$

-15 elosztása a következővel: \frac{5}{2}. Ezt úgy végezzük, hogy a(z) -15 értéket megszorozzuk a(z) \frac{5}{2} reciprokával.

$$x^{2}-6x=-\frac{\frac{25}{2}}{\frac{5}{2}}$$

-\frac{25}{2} elosztása a következővel: \frac{5}{2}. Ezt úgy végezzük, hogy a(z) -\frac{25}{2} értéket megszorozzuk a(z) \frac{5}{2} reciprokával.

$$x^{2}-6x=-5$$

Elosztjuk a(z) -6 értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -3. Ezután hozzáadjuk -3 négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-6x+\left(-3\right)^{2}=-5+\left(-3\right)^{2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -3.

$$x^{2}-6x+9=-5+9$$

Összeadjuk a következőket: -5 és 9.

$$x^{2}-6x+9=4$$

Tényezőkre x^{2}-6x+9. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-3\right)^{2}=4$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-3\right)^{2}}=\sqrt{4}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-3=2 x-3=-2$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 3.

$$x=5 x=1$$