n^2-69n+410=0 megoldása

$$n ^ { 2 } - 69 n + 410 = 0$$

Megoldás a(z) n változóra

$$n = \frac{\sqrt{3121} + 69}{2} \approx 62,432955447$$

$$n = \frac{69 - \sqrt{3121}}{2} \approx 6,567044553$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$n^{2}-69n+410=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 1 értéket a-ba, a(z) -69 értéket b-be és a(z) 410 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-69\right)±\sqrt{\left(-69\right)^{2}-4\times 410}}{2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -69.

$$n=\frac{-\left(-69\right)±\sqrt{4761-4\times 410}}{2}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 410.

$$n=\frac{-\left(-69\right)±\sqrt{4761-1640}}{2}$$

Összeadjuk a következőket: 4761 és -1640.

$$n=\frac{-\left(-69\right)±\sqrt{3121}}{2}$$

-69 ellentettje 69.

$$n=\frac{69±\sqrt{3121}}{2}$$

Megoldjuk az egyenletet (n=\frac{69±\sqrt{3121}}{2}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 69 és \sqrt{3121}.

$$n=\frac{\sqrt{3121}+69}{2}$$

Megoldjuk az egyenletet (n=\frac{69±\sqrt{3121}}{2}). ± előjele negatív. \sqrt{3121} kivonása a következőből: 69.

$$n=\frac{69-\sqrt{3121}}{2}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$n=\frac{\sqrt{3121}+69}{2} n=\frac{69-\sqrt{3121}}{2}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$n^{2}-69n+410=0$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 410.

$$n^{2}-69n+410-410=-410$$

Ha kivonjuk a(z) 410 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$n^{2}-69n=-410$$

Elosztjuk a(z) -69 értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{69}{2}. Ezután hozzáadjuk -\frac{69}{2} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$n^{2}-69n+\left(-\frac{69}{2}\right)^{2}=-410+\left(-\frac{69}{2}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{69}{2} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$n^{2}-69n+\frac{4761}{4}=-410+\frac{4761}{4}$$

Összeadjuk a következőket: -410 és \frac{4761}{4}.

$$n^{2}-69n+\frac{4761}{4}=\frac{3121}{4}$$

Tényezőkre n^{2}-69n+\frac{4761}{4}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(n-\frac{69}{2}\right)^{2}=\frac{3121}{4}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(n-\frac{69}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{3121}{4}}$$

Egyszerűsítünk.

$$n-\frac{69}{2}=\frac{\sqrt{3121}}{2} n-\frac{69}{2}=-\frac{\sqrt{3121}}{2}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{69}{2}.

$$n=\frac{\sqrt{3121}+69}{2} n=\frac{69-\sqrt{3121}}{2}$$