n^2-4019n+2009^2=0 megoldása

$$n ^ { 2 } - 4019 n + 2009 ^ { 2 } = 0$$

Megoldás a(z) n változóra

$$n = \frac{3 \sqrt{893} + 4019}{2} \approx 2054,324658392$$

$$n = \frac{4019 - 3 \sqrt{893}}{2} \approx 1964,675341608$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Kiszámoljuk a(z) 2009 érték 2. hatványát. Az eredmény 4036081.

$$n^{2}-4019n+4036081=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 1 értéket a-ba, a(z) -4019 értéket b-be és a(z) 4036081 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-4019\right)±\sqrt{\left(-4019\right)^{2}-4\times 4036081}}{2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -4019.

$$n=\frac{-\left(-4019\right)±\sqrt{16152361-4\times 4036081}}{2}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 4036081.

$$n=\frac{-\left(-4019\right)±\sqrt{16152361-16144324}}{2}$$

Összeadjuk a következőket: 16152361 és -16144324.

$$n=\frac{-\left(-4019\right)±\sqrt{8037}}{2}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 8037.

$$n=\frac{-\left(-4019\right)±3\sqrt{893}}{2}$$

-4019 ellentettje 4019.

$$n=\frac{4019±3\sqrt{893}}{2}$$

Megoldjuk az egyenletet (n=\frac{4019±3\sqrt{893}}{2}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 4019 és 3\sqrt{893}.

$$n=\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}$$

Megoldjuk az egyenletet (n=\frac{4019±3\sqrt{893}}{2}). ± előjele negatív. 3\sqrt{893} kivonása a következőből: 4019.

$$n=\frac{4019-3\sqrt{893}}{2}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$n=\frac{3\sqrt{893}+4019}{2} n=\frac{4019-3\sqrt{893}}{2}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Kiszámoljuk a(z) 2009 érték 2. hatványát. Az eredmény 4036081.

$$n^{2}-4019n+4036081=0$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 4036081. Ha nullából von ki számot, annak ellentettjét kapja.

$$n^{2}-4019n=-4036081$$

Elosztjuk a(z) -4019 értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{4019}{2}. Ezután hozzáadjuk -\frac{4019}{2} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$n^{2}-4019n+\left(-\frac{4019}{2}\right)^{2}=-4036081+\left(-\frac{4019}{2}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{4019}{2} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$n^{2}-4019n+\frac{16152361}{4}=-4036081+\frac{16152361}{4}$$

Összeadjuk a következőket: -4036081 és \frac{16152361}{4}.

$$n^{2}-4019n+\frac{16152361}{4}=\frac{8037}{4}$$

Tényezőkre n^{2}-4019n+\frac{16152361}{4}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(n-\frac{4019}{2}\right)^{2}=\frac{8037}{4}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(n-\frac{4019}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{8037}{4}}$$

Egyszerűsítünk.

$$n-\frac{4019}{2}=\frac{3\sqrt{893}}{2} n-\frac{4019}{2}=-\frac{3\sqrt{893}}{2}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{4019}{2}.

$$n=\frac{3\sqrt{893}+4019}{2} n=\frac{4019-3\sqrt{893}}{2}$$