a^2+(7-a)^2=169 megoldása

$$a ^ { 2 } + ( 7 - a ) ^ { 2 } = 169$$

Megoldás a(z) a változóra

$$a=-5$$

$$a=12$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Binomiális tétel (\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}) használatával kibontjuk a képletet (\left(7-a\right)^{2}).

$$a^{2}+49-14a+a^{2}=169$$

Összevonjuk a következőket: a^{2} és a^{2}. Az eredmény 2a^{2}.

$$2a^{2}+49-14a=169$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 169.

$$2a^{2}+49-14a-169=0$$

Kivonjuk a(z) 169 értékből a(z) 49 értéket. Az eredmény -120.

$$2a^{2}-120-14a=0$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 2.

$$a^{2}-60-7a=0$$

Átrendezzük a polinomot, kanonikus formára hozva azt. A tagokat sorba rendezzük a legnagyobb kitevőjűtől a legkisebb kitevőjűig.

$$a^{2}-7a-60=0$$

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk a^{2}+aa+ba-60 alakúvá. A a és b megkereséséhez állítson be egy rendszer-egy rendszert.

$$a+b=-7 ab=1\left(-60\right)=-60$$

Mivel a ab negatív, a és b rendelkezik a megfelelő előjel között. Mivel a a+b negatív, a negatív szám nagyobb abszolút értéket tartalmaz, mint a pozitív érték. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata -60.

$$1,-60 2,-30 3,-20 4,-15 5,-12 6,-10$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$1-60=-59 2-30=-28 3-20=-17 4-15=-11 5-12=-7 6-10=-4$$

A megoldás az a pár, amelynek összege -7.

$$a=-12 b=5$$

Átírjuk az értéket (a^{2}-7a-60) \left(a^{2}-12a\right)+\left(5a-60\right) alakban.

$$\left(a^{2}-12a\right)+\left(5a-60\right)$$

A a a második csoportban lévő első és 5 faktort.

$$a\left(a-12\right)+5\left(a-12\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) a-12 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(a-12\right)\left(a+5\right)$$

Az egyenletmegoldások kereséséhez, a a-12=0 és a a+5=0.

$$a=12 a=-5$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Binomiális tétel (\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}) használatával kibontjuk a képletet (\left(7-a\right)^{2}).

$$a^{2}+49-14a+a^{2}=169$$

Összevonjuk a következőket: a^{2} és a^{2}. Az eredmény 2a^{2}.

$$2a^{2}+49-14a=169$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 169.

$$2a^{2}+49-14a-169=0$$

Kivonjuk a(z) 169 értékből a(z) 49 értéket. Az eredmény -120.

$$2a^{2}-120-14a=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$2a^{2}-14a-120=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 2 értéket a-ba, a(z) -14 értéket b-be és a(z) -120 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$a=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 2\left(-120\right)}}{2\times 2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -14.

$$a=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 2\left(-120\right)}}{2\times 2}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 2.

$$a=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-8\left(-120\right)}}{2\times 2}$$

Összeszorozzuk a következőket: -8 és -120.

$$a=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196+960}}{2\times 2}$$

Összeadjuk a következőket: 196 és 960.

$$a=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{1156}}{2\times 2}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 1156.

$$a=\frac{-\left(-14\right)±34}{2\times 2}$$

-14 ellentettje 14.

$$a=\frac{14±34}{2\times 2}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 2.

$$a=\frac{14±34}{4}$$

Megoldjuk az egyenletet (a=\frac{14±34}{4}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 14 és 34.

$$a=\frac{48}{4}$$

48 elosztása a következővel: 4.

$$a=12$$

Megoldjuk az egyenletet (a=\frac{14±34}{4}). ± előjele negatív. 34 kivonása a következőből: 14.

$$a=-\frac{20}{4}$$

-20 elosztása a következővel: 4.

$$a=-5$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$a=12 a=-5$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Binomiális tétel (\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}) használatával kibontjuk a képletet (\left(7-a\right)^{2}).

$$a^{2}+49-14a+a^{2}=169$$

Összevonjuk a következőket: a^{2} és a^{2}. Az eredmény 2a^{2}.

$$2a^{2}+49-14a=169$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 49.

$$2a^{2}-14a=169-49$$

Kivonjuk a(z) 49 értékből a(z) 169 értéket. Az eredmény 120.

$$2a^{2}-14a=120$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 2.

$$\frac{2a^{2}-14a}{2}=\frac{120}{2}$$

A(z) 2 értékkel való osztás eltünteti a(z) 2 értékkel való szorzást.

$$a^{2}+\left(-\frac{14}{2}\right)a=\frac{120}{2}$$

-14 elosztása a következővel: 2.

$$a^{2}-7a=\frac{120}{2}$$

120 elosztása a következővel: 2.

$$a^{2}-7a=60$$

Elosztjuk a(z) -7 értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{7}{2}. Ezután hozzáadjuk -\frac{7}{2} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$a^{2}-7a+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}=60+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{7}{2} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$a^{2}-7a+\frac{49}{4}=60+\frac{49}{4}$$

Összeadjuk a következőket: 60 és \frac{49}{4}.

$$a^{2}-7a+\frac{49}{4}=\frac{289}{4}$$

Tényezőkre a^{2}-7a+\frac{49}{4}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(a-\frac{7}{2}\right)^{2}=\frac{289}{4}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(a-\frac{7}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{289}{4}}$$

Egyszerűsítünk.

$$a-\frac{7}{2}=\frac{17}{2} a-\frac{7}{2}=-\frac{17}{2}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{7}{2}.

$$a=12 a=-5$$