81x^2+6x+9=0 megoldása

$$81 x ^ { 2 } + 6 x + 9 = 0$$

Megoldás a(z) x változóra (complex solution)

$$x=\frac{-1+4\sqrt{5}i}{27}\approx -0,037037037+0,33126933i$$

$$x=\frac{-4\sqrt{5}i-1}{27}\approx -0,037037037-0,33126933i$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$81x^{2}+6x+9=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 81 értéket a-ba, a(z) 6 értéket b-be és a(z) 9 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 81\times 9}}{2\times 81}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 6.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\times 81\times 9}}{2\times 81}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 81.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-324\times 9}}{2\times 81}$$

Összeszorozzuk a következőket: -324 és 9.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-2916}}{2\times 81}$$

Összeadjuk a következőket: 36 és -2916.

$$x=\frac{-6±\sqrt{-2880}}{2\times 81}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: -2880.

$$x=\frac{-6±24\sqrt{5}i}{2\times 81}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 81.

$$x=\frac{-6±24\sqrt{5}i}{162}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-6±24\sqrt{5}i}{162}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -6 és 24i\sqrt{5}.

$$x=\frac{-6+24\sqrt{5}i}{162}$$

-6+24i\sqrt{5} elosztása a következővel: 162.

$$x=\frac{-1+4\sqrt{5}i}{27}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-6±24\sqrt{5}i}{162}). ± előjele negatív. 24i\sqrt{5} kivonása a következőből: -6.

$$x=\frac{-24\sqrt{5}i-6}{162}$$

-6-24i\sqrt{5} elosztása a következővel: 162.

$$x=\frac{-4\sqrt{5}i-1}{27}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{-1+4\sqrt{5}i}{27} x=\frac{-4\sqrt{5}i-1}{27}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$81x^{2}+6x+9=0$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 9.

$$81x^{2}+6x+9-9=-9$$

Ha kivonjuk a(z) 9 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$81x^{2}+6x=-9$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 81.

$$\frac{81x^{2}+6x}{81}=-\frac{9}{81}$$

A(z) 81 értékkel való osztás eltünteti a(z) 81 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\frac{6}{81}x=-\frac{9}{81}$$

A törtet (\frac{6}{81}) leegyszerűsítjük 3 kivonásával és kiejtésével.

$$x^{2}+\frac{2}{27}x=-\frac{9}{81}$$

A törtet (\frac{-9}{81}) leegyszerűsítjük 9 kivonásával és kiejtésével.

$$x^{2}+\frac{2}{27}x=-\frac{1}{9}$$

Elosztjuk a(z) \frac{2}{27} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye \frac{1}{27}. Ezután hozzáadjuk \frac{1}{27} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}+\frac{2}{27}x+\left(\frac{1}{27}\right)^{2}=-\frac{1}{9}+\left(\frac{1}{27}\right)^{2}$$

A(z) \frac{1}{27} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}+\frac{2}{27}x+\frac{1}{729}=-\frac{1}{9}+\frac{1}{729}$$

-\frac{1}{9} és \frac{1}{729} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}+\frac{2}{27}x+\frac{1}{729}=-\frac{80}{729}$$

Tényezőkre x^{2}+\frac{2}{27}x+\frac{1}{729}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x+\frac{1}{27}\right)^{2}=-\frac{80}{729}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{27}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{80}{729}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x+\frac{1}{27}=\frac{4\sqrt{5}i}{27} x+\frac{1}{27}=-\frac{4\sqrt{5}i}{27}$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{1}{27}.

$$x=\frac{-1+4\sqrt{5}i}{27} x=\frac{-4\sqrt{5}i-1}{27}$$