8x^2-7x+1=0 megoldása

$$8 x ^ { 2 } - 7 x + 1 = 0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=\frac{\sqrt{17}+7}{16}\approx 0,695194102$$

$$x=\frac{7-\sqrt{17}}{16}\approx 0,179805898$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$8x^{2}-7x+1=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 8 értéket a-ba, a(z) -7 értéket b-be és a(z) 1 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 8}}{2\times 8}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -7.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 8}}{2\times 8}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 8.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-32}}{2\times 8}$$

Összeadjuk a következőket: 49 és -32.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{17}}{2\times 8}$$

-7 ellentettje 7.

$$x=\frac{7±\sqrt{17}}{2\times 8}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 8.

$$x=\frac{7±\sqrt{17}}{16}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{7±\sqrt{17}}{16}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 7 és \sqrt{17}.

$$x=\frac{\sqrt{17}+7}{16}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{7±\sqrt{17}}{16}). ± előjele negatív. \sqrt{17} kivonása a következőből: 7.

$$x=\frac{7-\sqrt{17}}{16}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{\sqrt{17}+7}{16} x=\frac{7-\sqrt{17}}{16}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$8x^{2}-7x+1=0$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 1.

$$8x^{2}-7x+1-1=-1$$

Ha kivonjuk a(z) 1 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$8x^{2}-7x=-1$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 8.

$$\frac{8x^{2}-7x}{8}=-\frac{1}{8}$$

A(z) 8 értékkel való osztás eltünteti a(z) 8 értékkel való szorzást.

$$x^{2}-\frac{7}{8}x=-\frac{1}{8}$$

Elosztjuk a(z) -\frac{7}{8} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{7}{16}. Ezután hozzáadjuk -\frac{7}{16} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-\frac{7}{8}x+\left(-\frac{7}{16}\right)^{2}=-\frac{1}{8}+\left(-\frac{7}{16}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{7}{16} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-\frac{7}{8}x+\frac{49}{256}=-\frac{1}{8}+\frac{49}{256}$$

-\frac{1}{8} és \frac{49}{256} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}-\frac{7}{8}x+\frac{49}{256}=\frac{17}{256}$$

Tényezőkre x^{2}-\frac{7}{8}x+\frac{49}{256}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-\frac{7}{16}\right)^{2}=\frac{17}{256}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{16}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{17}{256}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{7}{16}=\frac{\sqrt{17}}{16} x-\frac{7}{16}=-\frac{\sqrt{17}}{16}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{7}{16}.

$$x=\frac{\sqrt{17}+7}{16} x=\frac{7-\sqrt{17}}{16}$$