8x^2+2x=21 megoldása

$$8 x ^ { 2 } + 2 x = 21$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x = -\frac{7}{4} = -1\frac{3}{4} = -1,75$$

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1,5$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 21.

$$8x^{2}+2x-21=0$$

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk 8x^{2}+ax+bx-21 alakúvá. A a és b megkereséséhez állítson be egy rendszer-egy rendszert.

$$a+b=2 ab=8\left(-21\right)=-168$$

Mivel a ab negatív, a és b rendelkezik a megfelelő előjel között. Mivel a a+b pozitív, a pozitív szám nagyobb abszolút értéket tartalmaz, mint a negatív érték. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata -168.

$$-1,168 -2,84 -3,56 -4,42 -6,28 -7,24 -8,21 -12,14$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$-1+168=167 -2+84=82 -3+56=53 -4+42=38 -6+28=22 -7+24=17 -8+21=13 -12+14=2$$

A megoldás az a pár, amelynek összege 2.

$$a=-12 b=14$$

Átírjuk az értéket (8x^{2}+2x-21) \left(8x^{2}-12x\right)+\left(14x-21\right) alakban.

$$\left(8x^{2}-12x\right)+\left(14x-21\right)$$

A 4x a második csoportban lévő első és 7 faktort.

$$4x\left(2x-3\right)+7\left(2x-3\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) 2x-3 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(2x-3\right)\left(4x+7\right)$$

Az egyenletmegoldások kereséséhez, a 2x-3=0 és a 4x+7=0.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{7}{4}$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$8x^{2}+2x=21$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 21.

$$8x^{2}+2x-21=21-21$$

Ha kivonjuk a(z) 21 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$8x^{2}+2x-21=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 8 értéket a-ba, a(z) 2 értéket b-be és a(z) -21 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 8\left(-21\right)}}{2\times 8}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 8\left(-21\right)}}{2\times 8}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 8.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-32\left(-21\right)}}{2\times 8}$$

Összeszorozzuk a következőket: -32 és -21.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+672}}{2\times 8}$$

Összeadjuk a következőket: 4 és 672.

$$x=\frac{-2±\sqrt{676}}{2\times 8}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 676.

$$x=\frac{-2±26}{2\times 8}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 8.

$$x=\frac{-2±26}{16}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-2±26}{16}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -2 és 26.

$$x=\frac{24}{16}$$

A törtet (\frac{24}{16}) leegyszerűsítjük 8 kivonásával és kiejtésével.

$$x=\frac{3}{2}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-2±26}{16}). ± előjele negatív. 26 kivonása a következőből: -2.

$$x=-\frac{28}{16}$$

A törtet (\frac{-28}{16}) leegyszerűsítjük 4 kivonásával és kiejtésével.

$$x=-\frac{7}{4}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{7}{4}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$8x^{2}+2x=21$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 8.

$$\frac{8x^{2}+2x}{8}=\frac{21}{8}$$

A(z) 8 értékkel való osztás eltünteti a(z) 8 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\frac{2}{8}x=\frac{21}{8}$$

A törtet (\frac{2}{8}) leegyszerűsítjük 2 kivonásával és kiejtésével.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x=\frac{21}{8}$$

Elosztjuk a(z) \frac{1}{4} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye \frac{1}{8}. Ezután hozzáadjuk \frac{1}{8} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x+\left(\frac{1}{8}\right)^{2}=\frac{21}{8}+\left(\frac{1}{8}\right)^{2}$$

A(z) \frac{1}{8} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}=\frac{21}{8}+\frac{1}{64}$$

\frac{21}{8} és \frac{1}{64} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}=\frac{169}{64}$$

Tényezőkre x^{2}+\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x+\frac{1}{8}\right)^{2}=\frac{169}{64}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{64}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x+\frac{1}{8}=\frac{13}{8} x+\frac{1}{8}=-\frac{13}{8}$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{1}{8}.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{7}{4}$$