8x^2-6x-4=0 megoldása

$$8 { x }^{ 2 } -6x-4=0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x = \frac{\sqrt{41} + 3}{8} \approx 1,17539053$$

$$x=\frac{3-\sqrt{41}}{8}\approx -0,42539053$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$8x^{2}-6x-4=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 8 értéket a-ba, a(z) -6 értéket b-be és a(z) -4 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\times 8\left(-4\right)}}{2\times 8}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -6.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-4\times 8\left(-4\right)}}{2\times 8}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 8.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-32\left(-4\right)}}{2\times 8}$$

Összeszorozzuk a következőket: -32 és -4.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36+128}}{2\times 8}$$

Összeadjuk a következőket: 36 és 128.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{164}}{2\times 8}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 164.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±2\sqrt{41}}{2\times 8}$$

-6 ellentettje 6.

$$x=\frac{6±2\sqrt{41}}{2\times 8}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 8.

$$x=\frac{6±2\sqrt{41}}{16}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{6±2\sqrt{41}}{16}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 6 és 2\sqrt{41}.

$$x=\frac{2\sqrt{41}+6}{16}$$

6+2\sqrt{41} elosztása a következővel: 16.

$$x=\frac{\sqrt{41}+3}{8}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{6±2\sqrt{41}}{16}). ± előjele negatív. 2\sqrt{41} kivonása a következőből: 6.

$$x=\frac{6-2\sqrt{41}}{16}$$

6-2\sqrt{41} elosztása a következővel: 16.

$$x=\frac{3-\sqrt{41}}{8}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{\sqrt{41}+3}{8} x=\frac{3-\sqrt{41}}{8}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$8x^{2}-6x-4=0$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 4.

$$8x^{2}-6x-4-\left(-4\right)=-\left(-4\right)$$

Ha kivonjuk a(z) -4 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$8x^{2}-6x=-\left(-4\right)$$

-4 kivonása a következőből: 0.

$$8x^{2}-6x=4$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 8.

$$\frac{8x^{2}-6x}{8}=\frac{4}{8}$$

A(z) 8 értékkel való osztás eltünteti a(z) 8 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\left(-\frac{6}{8}\right)x=\frac{4}{8}$$

A törtet (\frac{-6}{8}) leegyszerűsítjük 2 kivonásával és kiejtésével.

$$x^{2}-\frac{3}{4}x=\frac{4}{8}$$

A törtet (\frac{4}{8}) leegyszerűsítjük 4 kivonásával és kiejtésével.

$$x^{2}-\frac{3}{4}x=\frac{1}{2}$$

Elosztjuk a(z) -\frac{3}{4} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{3}{8}. Ezután hozzáadjuk -\frac{3}{8} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-\frac{3}{4}x+\left(-\frac{3}{8}\right)^{2}=\frac{1}{2}+\left(-\frac{3}{8}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{3}{8} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-\frac{3}{4}x+\frac{9}{64}=\frac{1}{2}+\frac{9}{64}$$

\frac{1}{2} és \frac{9}{64} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}-\frac{3}{4}x+\frac{9}{64}=\frac{41}{64}$$

Tényezőkre x^{2}-\frac{3}{4}x+\frac{9}{64}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-\frac{3}{8}\right)^{2}=\frac{41}{64}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{41}{64}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{3}{8}=\frac{\sqrt{41}}{8} x-\frac{3}{8}=-\frac{\sqrt{41}}{8}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{3}{8}.

$$x=\frac{\sqrt{41}+3}{8} x=\frac{3-\sqrt{41}}{8}$$