7n^2+10n-130=0 megoldása

$$7 n ^ { 2 } + 10 n - 130 = 0$$

Megoldás a(z) n változóra

$$n = \frac{\sqrt{935} - 5}{7} \approx 3,6539671$$

$$n=\frac{-\sqrt{935}-5}{7}\approx -5,082538529$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$7n^{2}+10n-130=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 7 értéket a-ba, a(z) 10 értéket b-be és a(z) -130 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 7\left(-130\right)}}{2\times 7}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 10.

$$n=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 7\left(-130\right)}}{2\times 7}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 7.

$$n=\frac{-10±\sqrt{100-28\left(-130\right)}}{2\times 7}$$

Összeszorozzuk a következőket: -28 és -130.

$$n=\frac{-10±\sqrt{100+3640}}{2\times 7}$$

Összeadjuk a következőket: 100 és 3640.

$$n=\frac{-10±\sqrt{3740}}{2\times 7}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 3740.

$$n=\frac{-10±2\sqrt{935}}{2\times 7}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 7.

$$n=\frac{-10±2\sqrt{935}}{14}$$

Megoldjuk az egyenletet (n=\frac{-10±2\sqrt{935}}{14}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -10 és 2\sqrt{935}.

$$n=\frac{2\sqrt{935}-10}{14}$$

-10+2\sqrt{935} elosztása a következővel: 14.

$$n=\frac{\sqrt{935}-5}{7}$$

Megoldjuk az egyenletet (n=\frac{-10±2\sqrt{935}}{14}). ± előjele negatív. 2\sqrt{935} kivonása a következőből: -10.

$$n=\frac{-2\sqrt{935}-10}{14}$$

-10-2\sqrt{935} elosztása a következővel: 14.

$$n=\frac{-\sqrt{935}-5}{7}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$n=\frac{\sqrt{935}-5}{7} n=\frac{-\sqrt{935}-5}{7}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$7n^{2}+10n-130=0$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 130.

$$7n^{2}+10n-130-\left(-130\right)=-\left(-130\right)$$

Ha kivonjuk a(z) -130 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$7n^{2}+10n=-\left(-130\right)$$

-130 kivonása a következőből: 0.

$$7n^{2}+10n=130$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 7.

$$\frac{7n^{2}+10n}{7}=\frac{130}{7}$$

A(z) 7 értékkel való osztás eltünteti a(z) 7 értékkel való szorzást.

$$n^{2}+\frac{10}{7}n=\frac{130}{7}$$

Elosztjuk a(z) \frac{10}{7} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye \frac{5}{7}. Ezután hozzáadjuk \frac{5}{7} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$n^{2}+\frac{10}{7}n+\left(\frac{5}{7}\right)^{2}=\frac{130}{7}+\left(\frac{5}{7}\right)^{2}$$

A(z) \frac{5}{7} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$n^{2}+\frac{10}{7}n+\frac{25}{49}=\frac{130}{7}+\frac{25}{49}$$

\frac{130}{7} és \frac{25}{49} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$n^{2}+\frac{10}{7}n+\frac{25}{49}=\frac{935}{49}$$

Tényezőkre n^{2}+\frac{10}{7}n+\frac{25}{49}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(n+\frac{5}{7}\right)^{2}=\frac{935}{49}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(n+\frac{5}{7}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{935}{49}}$$

Egyszerűsítünk.

$$n+\frac{5}{7}=\frac{\sqrt{935}}{7} n+\frac{5}{7}=-\frac{\sqrt{935}}{7}$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{5}{7}.

$$n=\frac{\sqrt{935}-5}{7} n=\frac{-\sqrt{935}-5}{7}$$