6x^2-9x-60=0 megoldása

$$6 x ^ { 2 } - 9 x - 60 = 0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2,5$$

$$x=4$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 3.

$$2x^{2}-3x-20=0$$

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk 2x^{2}+ax+bx-20 alakúvá. A a és b megkereséséhez állítson be egy rendszer-egy rendszert.

$$a+b=-3 ab=2\left(-20\right)=-40$$

Mivel a ab negatív, a és b rendelkezik a megfelelő előjel között. Mivel a a+b negatív, a negatív szám nagyobb abszolút értéket tartalmaz, mint a pozitív érték. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata -40.

$$1,-40 2,-20 4,-10 5,-8$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$1-40=-39 2-20=-18 4-10=-6 5-8=-3$$

A megoldás az a pár, amelynek összege -3.

$$a=-8 b=5$$

Átírjuk az értéket (2x^{2}-3x-20) \left(2x^{2}-8x\right)+\left(5x-20\right) alakban.

$$\left(2x^{2}-8x\right)+\left(5x-20\right)$$

A 2x a második csoportban lévő első és 5 faktort.

$$2x\left(x-4\right)+5\left(x-4\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) x-4 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(x-4\right)\left(2x+5\right)$$

Az egyenletmegoldások kereséséhez, a x-4=0 és a 2x+5=0.

$$x=4 x=-\frac{5}{2}$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$6x^{2}-9x-60=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 6 értéket a-ba, a(z) -9 értéket b-be és a(z) -60 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 6\left(-60\right)}}{2\times 6}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -9.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\times 6\left(-60\right)}}{2\times 6}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 6.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-24\left(-60\right)}}{2\times 6}$$

Összeszorozzuk a következőket: -24 és -60.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81+1440}}{2\times 6}$$

Összeadjuk a következőket: 81 és 1440.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{1521}}{2\times 6}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 1521.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±39}{2\times 6}$$

-9 ellentettje 9.

$$x=\frac{9±39}{2\times 6}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 6.

$$x=\frac{9±39}{12}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{9±39}{12}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 9 és 39.

$$x=\frac{48}{12}$$

48 elosztása a következővel: 12.

$$x=4$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{9±39}{12}). ± előjele negatív. 39 kivonása a következőből: 9.

$$x=-\frac{30}{12}$$

A törtet (\frac{-30}{12}) leegyszerűsítjük 6 kivonásával és kiejtésével.

$$x=-\frac{5}{2}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=4 x=-\frac{5}{2}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$6x^{2}-9x-60=0$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 60.

$$6x^{2}-9x-60-\left(-60\right)=-\left(-60\right)$$

Ha kivonjuk a(z) -60 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$6x^{2}-9x=-\left(-60\right)$$

-60 kivonása a következőből: 0.

$$6x^{2}-9x=60$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 6.

$$\frac{6x^{2}-9x}{6}=\frac{60}{6}$$

A(z) 6 értékkel való osztás eltünteti a(z) 6 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\left(-\frac{9}{6}\right)x=\frac{60}{6}$$

A törtet (\frac{-9}{6}) leegyszerűsítjük 3 kivonásával és kiejtésével.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=\frac{60}{6}$$

60 elosztása a következővel: 6.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=10$$

Elosztjuk a(z) -\frac{3}{2} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{3}{4}. Ezután hozzáadjuk -\frac{3}{4} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}=10+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{3}{4} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=10+\frac{9}{16}$$

Összeadjuk a következőket: 10 és \frac{9}{16}.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{169}{16}$$

Tényezőkre x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{169}{16}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{16}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{3}{4}=\frac{13}{4} x-\frac{3}{4}=-\frac{13}{4}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{3}{4}.

$$x=4 x=-\frac{5}{2}$$