6x^2+19x-7=0 megoldása

$$6 { x }^{ 2 } +19x-7=0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x = -\frac{7}{2} = -3\frac{1}{2} = -3,5$$

$$x=\frac{1}{3}\approx 0,333333333$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk 6x^{2}+ax+bx-7 alakúvá. A a és b megkereséséhez állítson be egy rendszer-egy rendszert.

$$a+b=19 ab=6\left(-7\right)=-42$$

Mivel a ab negatív, a és b rendelkezik a megfelelő előjel között. Mivel a a+b pozitív, a pozitív szám nagyobb abszolút értéket tartalmaz, mint a negatív érték. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata -42.

$$-1,42 -2,21 -3,14 -6,7$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$-1+42=41 -2+21=19 -3+14=11 -6+7=1$$

A megoldás az a pár, amelynek összege 19.

$$a=-2 b=21$$

Átírjuk az értéket (6x^{2}+19x-7) \left(6x^{2}-2x\right)+\left(21x-7\right) alakban.

$$\left(6x^{2}-2x\right)+\left(21x-7\right)$$

A 2x a második csoportban lévő első és 7 faktort.

$$2x\left(3x-1\right)+7\left(3x-1\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) 3x-1 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(3x-1\right)\left(2x+7\right)$$

Az egyenletmegoldások kereséséhez, a 3x-1=0 és a 2x+7=0.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{7}{2}$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$6x^{2}+19x-7=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 6 értéket a-ba, a(z) 19 értéket b-be és a(z) -7 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-19±\sqrt{19^{2}-4\times 6\left(-7\right)}}{2\times 6}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 19.

$$x=\frac{-19±\sqrt{361-4\times 6\left(-7\right)}}{2\times 6}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 6.

$$x=\frac{-19±\sqrt{361-24\left(-7\right)}}{2\times 6}$$

Összeszorozzuk a következőket: -24 és -7.

$$x=\frac{-19±\sqrt{361+168}}{2\times 6}$$

Összeadjuk a következőket: 361 és 168.

$$x=\frac{-19±\sqrt{529}}{2\times 6}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 529.

$$x=\frac{-19±23}{2\times 6}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 6.

$$x=\frac{-19±23}{12}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-19±23}{12}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -19 és 23.

$$x=\frac{4}{12}$$

A törtet (\frac{4}{12}) leegyszerűsítjük 4 kivonásával és kiejtésével.

$$x=\frac{1}{3}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-19±23}{12}). ± előjele negatív. 23 kivonása a következőből: -19.

$$x=-\frac{42}{12}$$

A törtet (\frac{-42}{12}) leegyszerűsítjük 6 kivonásával és kiejtésével.

$$x=-\frac{7}{2}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{7}{2}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$6x^{2}+19x-7=0$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 7.

$$6x^{2}+19x-7-\left(-7\right)=-\left(-7\right)$$

Ha kivonjuk a(z) -7 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$6x^{2}+19x=-\left(-7\right)$$

-7 kivonása a következőből: 0.

$$6x^{2}+19x=7$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 6.

$$\frac{6x^{2}+19x}{6}=\frac{7}{6}$$

A(z) 6 értékkel való osztás eltünteti a(z) 6 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\frac{19}{6}x=\frac{7}{6}$$

Elosztjuk a(z) \frac{19}{6} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye \frac{19}{12}. Ezután hozzáadjuk \frac{19}{12} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}+\frac{19}{6}x+\left(\frac{19}{12}\right)^{2}=\frac{7}{6}+\left(\frac{19}{12}\right)^{2}$$

A(z) \frac{19}{12} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}+\frac{19}{6}x+\frac{361}{144}=\frac{7}{6}+\frac{361}{144}$$

\frac{7}{6} és \frac{361}{144} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}+\frac{19}{6}x+\frac{361}{144}=\frac{529}{144}$$

Tényezőkre x^{2}+\frac{19}{6}x+\frac{361}{144}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x+\frac{19}{12}\right)^{2}=\frac{529}{144}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x+\frac{19}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{529}{144}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x+\frac{19}{12}=\frac{23}{12} x+\frac{19}{12}=-\frac{23}{12}$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{19}{12}.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{7}{2}$$