56x^2-30x+1=0 megoldása

$$56 { x }^{ 2 } -30x+1=0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=\frac{1}{28}\approx 0,035714286$$

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk 56x^{2}+ax+bx+1 alakúvá. A a és b megkereséséhez állítson be egy rendszer-egy rendszert.

$$a+b=-30 ab=56\times 1=56$$

Mivel ab pozitív, a és b azonos aláírására. Mivel a a+b negatív, a és b negatív. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata 56.

$$-1,-56 -2,-28 -4,-14 -7,-8$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$-1-56=-57 -2-28=-30 -4-14=-18 -7-8=-15$$

A megoldás az a pár, amelynek összege -30.

$$a=-28 b=-2$$

Átírjuk az értéket (56x^{2}-30x+1) \left(56x^{2}-28x\right)+\left(-2x+1\right) alakban.

$$\left(56x^{2}-28x\right)+\left(-2x+1\right)$$

A 28x a második csoportban lévő első és -1 faktort.

$$28x\left(2x-1\right)-\left(2x-1\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) 2x-1 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(2x-1\right)\left(28x-1\right)$$

Az egyenletmegoldások kereséséhez, a 2x-1=0 és a 28x-1=0.

$$x=\frac{1}{2} x=\frac{1}{28}$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$56x^{2}-30x+1=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 56 értéket a-ba, a(z) -30 értéket b-be és a(z) 1 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{\left(-30\right)^{2}-4\times 56}}{2\times 56}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -30.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-4\times 56}}{2\times 56}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 56.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-224}}{2\times 56}$$

Összeadjuk a következőket: 900 és -224.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{676}}{2\times 56}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 676.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±26}{2\times 56}$$

-30 ellentettje 30.

$$x=\frac{30±26}{2\times 56}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 56.

$$x=\frac{30±26}{112}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{30±26}{112}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 30 és 26.

$$x=\frac{56}{112}$$

A törtet (\frac{56}{112}) leegyszerűsítjük 56 kivonásával és kiejtésével.

$$x=\frac{1}{2}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{30±26}{112}). ± előjele negatív. 26 kivonása a következőből: 30.

$$x=\frac{4}{112}$$

A törtet (\frac{4}{112}) leegyszerűsítjük 4 kivonásával és kiejtésével.

$$x=\frac{1}{28}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{1}{2} x=\frac{1}{28}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$56x^{2}-30x+1=0$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 1.

$$56x^{2}-30x+1-1=-1$$

Ha kivonjuk a(z) 1 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$56x^{2}-30x=-1$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 56.

$$\frac{56x^{2}-30x}{56}=-\frac{1}{56}$$

A(z) 56 értékkel való osztás eltünteti a(z) 56 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\left(-\frac{30}{56}\right)x=-\frac{1}{56}$$

A törtet (\frac{-30}{56}) leegyszerűsítjük 2 kivonásával és kiejtésével.

$$x^{2}-\frac{15}{28}x=-\frac{1}{56}$$

Elosztjuk a(z) -\frac{15}{28} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{15}{56}. Ezután hozzáadjuk -\frac{15}{56} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-\frac{15}{28}x+\left(-\frac{15}{56}\right)^{2}=-\frac{1}{56}+\left(-\frac{15}{56}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{15}{56} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-\frac{15}{28}x+\frac{225}{3136}=-\frac{1}{56}+\frac{225}{3136}$$

-\frac{1}{56} és \frac{225}{3136} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}-\frac{15}{28}x+\frac{225}{3136}=\frac{169}{3136}$$

Tényezőkre x^{2}-\frac{15}{28}x+\frac{225}{3136}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-\frac{15}{56}\right)^{2}=\frac{169}{3136}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{15}{56}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{3136}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{15}{56}=\frac{13}{56} x-\frac{15}{56}=-\frac{13}{56}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{15}{56}.

$$x=\frac{1}{2} x=\frac{1}{28}$$