5x^2-5x-17=0 megoldása

$$5 x ^ { 2 } - 5 x - 17 = 0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=\frac{\sqrt{365}}{10}+\frac{1}{2}\approx 2,410497317$$

$$x=-\frac{\sqrt{365}}{10}+\frac{1}{2}\approx -1,410497317$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$5x^{2}-5x-17=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 5 értéket a-ba, a(z) -5 értéket b-be és a(z) -17 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 5\left(-17\right)}}{2\times 5}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -5.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 5\left(-17\right)}}{2\times 5}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 5.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-20\left(-17\right)}}{2\times 5}$$

Összeszorozzuk a következőket: -20 és -17.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+340}}{2\times 5}$$

Összeadjuk a következőket: 25 és 340.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{365}}{2\times 5}$$

-5 ellentettje 5.

$$x=\frac{5±\sqrt{365}}{2\times 5}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 5.

$$x=\frac{5±\sqrt{365}}{10}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{5±\sqrt{365}}{10}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 5 és \sqrt{365}.

$$x=\frac{\sqrt{365}+5}{10}$$

5+\sqrt{365} elosztása a következővel: 10.

$$x=\frac{\sqrt{365}}{10}+\frac{1}{2}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{5±\sqrt{365}}{10}). ± előjele negatív. \sqrt{365} kivonása a következőből: 5.

$$x=\frac{5-\sqrt{365}}{10}$$

5-\sqrt{365} elosztása a következővel: 10.

$$x=-\frac{\sqrt{365}}{10}+\frac{1}{2}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{\sqrt{365}}{10}+\frac{1}{2} x=-\frac{\sqrt{365}}{10}+\frac{1}{2}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$5x^{2}-5x-17=0$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 17.

$$5x^{2}-5x-17-\left(-17\right)=-\left(-17\right)$$

Ha kivonjuk a(z) -17 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$5x^{2}-5x=-\left(-17\right)$$

-17 kivonása a következőből: 0.

$$5x^{2}-5x=17$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 5.

$$\frac{5x^{2}-5x}{5}=\frac{17}{5}$$

A(z) 5 értékkel való osztás eltünteti a(z) 5 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\left(-\frac{5}{5}\right)x=\frac{17}{5}$$

-5 elosztása a következővel: 5.

$$x^{2}-x=\frac{17}{5}$$

Elosztjuk a(z) -1 értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{1}{2}. Ezután hozzáadjuk -\frac{1}{2} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{17}{5}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{1}{2} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{17}{5}+\frac{1}{4}$$

\frac{17}{5} és \frac{1}{4} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{73}{20}$$

Tényezőkre x^{2}-x+\frac{1}{4}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{73}{20}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{73}{20}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{365}}{10} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{365}}{10}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{1}{2}.

$$x=\frac{\sqrt{365}}{10}+\frac{1}{2} x=-\frac{\sqrt{365}}{10}+\frac{1}{2}$$