5x^2-35x-90=0 megoldása

$$5 x ^ { 2 } - 35 x - 90 = 0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=-2$$

$$x=9$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 5.

$$x^{2}-7x-18=0$$

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk x^{2}+ax+bx-18 alakúvá. A a és b megkereséséhez állítson be egy rendszer-egy rendszert.

$$a+b=-7 ab=1\left(-18\right)=-18$$

Mivel a ab negatív, a és b rendelkezik a megfelelő előjel között. Mivel a a+b negatív, a negatív szám nagyobb abszolút értéket tartalmaz, mint a pozitív érték. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata -18.

$$1,-18 2,-9 3,-6$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$1-18=-17 2-9=-7 3-6=-3$$

A megoldás az a pár, amelynek összege -7.

$$a=-9 b=2$$

Átírjuk az értéket (x^{2}-7x-18) \left(x^{2}-9x\right)+\left(2x-18\right) alakban.

$$\left(x^{2}-9x\right)+\left(2x-18\right)$$

A x a második csoportban lévő első és 2 faktort.

$$x\left(x-9\right)+2\left(x-9\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) x-9 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(x-9\right)\left(x+2\right)$$

Az egyenletmegoldások kereséséhez, a x-9=0 és a x+2=0.

$$x=9 x=-2$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$5x^{2}-35x-90=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 5 értéket a-ba, a(z) -35 értéket b-be és a(z) -90 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-35\right)±\sqrt{\left(-35\right)^{2}-4\times 5\left(-90\right)}}{2\times 5}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -35.

$$x=\frac{-\left(-35\right)±\sqrt{1225-4\times 5\left(-90\right)}}{2\times 5}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 5.

$$x=\frac{-\left(-35\right)±\sqrt{1225-20\left(-90\right)}}{2\times 5}$$

Összeszorozzuk a következőket: -20 és -90.

$$x=\frac{-\left(-35\right)±\sqrt{1225+1800}}{2\times 5}$$

Összeadjuk a következőket: 1225 és 1800.

$$x=\frac{-\left(-35\right)±\sqrt{3025}}{2\times 5}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 3025.

$$x=\frac{-\left(-35\right)±55}{2\times 5}$$

-35 ellentettje 35.

$$x=\frac{35±55}{2\times 5}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 5.

$$x=\frac{35±55}{10}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{35±55}{10}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 35 és 55.

$$x=\frac{90}{10}$$

90 elosztása a következővel: 10.

$$x=9$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{35±55}{10}). ± előjele negatív. 55 kivonása a következőből: 35.

$$x=-\frac{20}{10}$$

-20 elosztása a következővel: 10.

$$x=-2$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=9 x=-2$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$5x^{2}-35x-90=0$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 90.

$$5x^{2}-35x-90-\left(-90\right)=-\left(-90\right)$$

Ha kivonjuk a(z) -90 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$5x^{2}-35x=-\left(-90\right)$$

-90 kivonása a következőből: 0.

$$5x^{2}-35x=90$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 5.

$$\frac{5x^{2}-35x}{5}=\frac{90}{5}$$

A(z) 5 értékkel való osztás eltünteti a(z) 5 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\left(-\frac{35}{5}\right)x=\frac{90}{5}$$

-35 elosztása a következővel: 5.

$$x^{2}-7x=\frac{90}{5}$$

90 elosztása a következővel: 5.

$$x^{2}-7x=18$$

Elosztjuk a(z) -7 értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{7}{2}. Ezután hozzáadjuk -\frac{7}{2} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-7x+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}=18+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{7}{2} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=18+\frac{49}{4}$$

Összeadjuk a következőket: 18 és \frac{49}{4}.

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=\frac{121}{4}$$

Tényezőkre x^{2}-7x+\frac{49}{4}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}=\frac{121}{4}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{4}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{7}{2}=\frac{11}{2} x-\frac{7}{2}=-\frac{11}{2}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{7}{2}.

$$x=9 x=-2$$