5x^2-2x-16=0 megoldása

$$5 x ^ { 2 } - 2 x - 16 = 0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x = -\frac{8}{5} = -1\frac{3}{5} = -1,6$$

$$x=2$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk 5x^{2}+ax+bx-16 alakúvá. A a és b megkereséséhez állítson be egy rendszer-egy rendszert.

$$a+b=-2 ab=5\left(-16\right)=-80$$

Mivel a ab negatív, a és b rendelkezik a megfelelő előjel között. Mivel a a+b negatív, a negatív szám nagyobb abszolút értéket tartalmaz, mint a pozitív érték. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata -80.

$$1,-80 2,-40 4,-20 5,-16 8,-10$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$1-80=-79 2-40=-38 4-20=-16 5-16=-11 8-10=-2$$

A megoldás az a pár, amelynek összege -2.

$$a=-10 b=8$$

Átírjuk az értéket (5x^{2}-2x-16) \left(5x^{2}-10x\right)+\left(8x-16\right) alakban.

$$\left(5x^{2}-10x\right)+\left(8x-16\right)$$

A 5x a második csoportban lévő első és 8 faktort.

$$5x\left(x-2\right)+8\left(x-2\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) x-2 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(x-2\right)\left(5x+8\right)$$

Az egyenletmegoldások kereséséhez, a x-2=0 és a 5x+8=0.

$$x=2 x=-\frac{8}{5}$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$5x^{2}-2x-16=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 5 értéket a-ba, a(z) -2 értéket b-be és a(z) -16 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 5\left(-16\right)}}{2\times 5}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 5\left(-16\right)}}{2\times 5}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 5.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-20\left(-16\right)}}{2\times 5}$$

Összeszorozzuk a következőket: -20 és -16.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+320}}{2\times 5}$$

Összeadjuk a következőket: 4 és 320.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{324}}{2\times 5}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 324.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±18}{2\times 5}$$

-2 ellentettje 2.

$$x=\frac{2±18}{2\times 5}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 5.

$$x=\frac{2±18}{10}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{2±18}{10}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 2 és 18.

$$x=\frac{20}{10}$$

20 elosztása a következővel: 10.

$$x=2$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{2±18}{10}). ± előjele negatív. 18 kivonása a következőből: 2.

$$x=-\frac{16}{10}$$

A törtet (\frac{-16}{10}) leegyszerűsítjük 2 kivonásával és kiejtésével.

$$x=-\frac{8}{5}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=2 x=-\frac{8}{5}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$5x^{2}-2x-16=0$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 16.

$$5x^{2}-2x-16-\left(-16\right)=-\left(-16\right)$$

Ha kivonjuk a(z) -16 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$5x^{2}-2x=-\left(-16\right)$$

-16 kivonása a következőből: 0.

$$5x^{2}-2x=16$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 5.

$$\frac{5x^{2}-2x}{5}=\frac{16}{5}$$

A(z) 5 értékkel való osztás eltünteti a(z) 5 értékkel való szorzást.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x=\frac{16}{5}$$

Elosztjuk a(z) -\frac{2}{5} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{1}{5}. Ezután hozzáadjuk -\frac{1}{5} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\left(-\frac{1}{5}\right)^{2}=\frac{16}{5}+\left(-\frac{1}{5}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{1}{5} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}=\frac{16}{5}+\frac{1}{25}$$

\frac{16}{5} és \frac{1}{25} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}=\frac{81}{25}$$

Tényezőkre x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-\frac{1}{5}\right)^{2}=\frac{81}{25}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{25}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{1}{5}=\frac{9}{5} x-\frac{1}{5}=-\frac{9}{5}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{1}{5}.

$$x=2 x=-\frac{8}{5}$$