5t^2-72t-108=0 megoldása

$$5 t ^ { 2 } - 72 t - 108 = 0$$

Megoldás a(z) t változóra

$$t = \frac{6 \sqrt{51} + 36}{5} \approx 15,769714114$$

$$t=\frac{36-6\sqrt{51}}{5}\approx -1,369714114$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$5t^{2}-72t-108=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 5 értéket a-ba, a(z) -72 értéket b-be és a(z) -108 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-\left(-72\right)±\sqrt{\left(-72\right)^{2}-4\times 5\left(-108\right)}}{2\times 5}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -72.

$$t=\frac{-\left(-72\right)±\sqrt{5184-4\times 5\left(-108\right)}}{2\times 5}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 5.

$$t=\frac{-\left(-72\right)±\sqrt{5184-20\left(-108\right)}}{2\times 5}$$

Összeszorozzuk a következőket: -20 és -108.

$$t=\frac{-\left(-72\right)±\sqrt{5184+2160}}{2\times 5}$$

Összeadjuk a következőket: 5184 és 2160.

$$t=\frac{-\left(-72\right)±\sqrt{7344}}{2\times 5}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 7344.

$$t=\frac{-\left(-72\right)±12\sqrt{51}}{2\times 5}$$

-72 ellentettje 72.

$$t=\frac{72±12\sqrt{51}}{2\times 5}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 5.

$$t=\frac{72±12\sqrt{51}}{10}$$

Megoldjuk az egyenletet (t=\frac{72±12\sqrt{51}}{10}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 72 és 12\sqrt{51}.

$$t=\frac{12\sqrt{51}+72}{10}$$

72+12\sqrt{51} elosztása a következővel: 10.

$$t=\frac{6\sqrt{51}+36}{5}$$

Megoldjuk az egyenletet (t=\frac{72±12\sqrt{51}}{10}). ± előjele negatív. 12\sqrt{51} kivonása a következőből: 72.

$$t=\frac{72-12\sqrt{51}}{10}$$

72-12\sqrt{51} elosztása a következővel: 10.

$$t=\frac{36-6\sqrt{51}}{5}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$t=\frac{6\sqrt{51}+36}{5} t=\frac{36-6\sqrt{51}}{5}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$5t^{2}-72t-108=0$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 108.

$$5t^{2}-72t-108-\left(-108\right)=-\left(-108\right)$$

Ha kivonjuk a(z) -108 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$5t^{2}-72t=-\left(-108\right)$$

-108 kivonása a következőből: 0.

$$5t^{2}-72t=108$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 5.

$$\frac{5t^{2}-72t}{5}=\frac{108}{5}$$

A(z) 5 értékkel való osztás eltünteti a(z) 5 értékkel való szorzást.

$$t^{2}-\frac{72}{5}t=\frac{108}{5}$$

Elosztjuk a(z) -\frac{72}{5} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{36}{5}. Ezután hozzáadjuk -\frac{36}{5} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$t^{2}-\frac{72}{5}t+\left(-\frac{36}{5}\right)^{2}=\frac{108}{5}+\left(-\frac{36}{5}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{36}{5} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$t^{2}-\frac{72}{5}t+\frac{1296}{25}=\frac{108}{5}+\frac{1296}{25}$$

\frac{108}{5} és \frac{1296}{25} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$t^{2}-\frac{72}{5}t+\frac{1296}{25}=\frac{1836}{25}$$

Tényezőkre t^{2}-\frac{72}{5}t+\frac{1296}{25}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(t-\frac{36}{5}\right)^{2}=\frac{1836}{25}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(t-\frac{36}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1836}{25}}$$

Egyszerűsítünk.

$$t-\frac{36}{5}=\frac{6\sqrt{51}}{5} t-\frac{36}{5}=-\frac{6\sqrt{51}}{5}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{36}{5}.

$$t=\frac{6\sqrt{51}+36}{5} t=\frac{36-6\sqrt{51}}{5}$$