5x^2-12x-7=0 megoldása

$$5 { x }^{ 2 } -12x-7=0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x = \frac{\sqrt{71} + 6}{5} \approx 2,885229955$$

$$x=\frac{6-\sqrt{71}}{5}\approx -0,485229955$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$5x^{2}-12x-7=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 5 értéket a-ba, a(z) -12 értéket b-be és a(z) -7 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 5\left(-7\right)}}{2\times 5}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -12.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 5\left(-7\right)}}{2\times 5}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 5.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-20\left(-7\right)}}{2\times 5}$$

Összeszorozzuk a következőket: -20 és -7.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144+140}}{2\times 5}$$

Összeadjuk a következőket: 144 és 140.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{284}}{2\times 5}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 284.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±2\sqrt{71}}{2\times 5}$$

-12 ellentettje 12.

$$x=\frac{12±2\sqrt{71}}{2\times 5}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 5.

$$x=\frac{12±2\sqrt{71}}{10}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{12±2\sqrt{71}}{10}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 12 és 2\sqrt{71}.

$$x=\frac{2\sqrt{71}+12}{10}$$

12+2\sqrt{71} elosztása a következővel: 10.

$$x=\frac{\sqrt{71}+6}{5}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{12±2\sqrt{71}}{10}). ± előjele negatív. 2\sqrt{71} kivonása a következőből: 12.

$$x=\frac{12-2\sqrt{71}}{10}$$

12-2\sqrt{71} elosztása a következővel: 10.

$$x=\frac{6-\sqrt{71}}{5}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{\sqrt{71}+6}{5} x=\frac{6-\sqrt{71}}{5}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$5x^{2}-12x-7=0$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 7.

$$5x^{2}-12x-7-\left(-7\right)=-\left(-7\right)$$

Ha kivonjuk a(z) -7 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$5x^{2}-12x=-\left(-7\right)$$

-7 kivonása a következőből: 0.

$$5x^{2}-12x=7$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 5.

$$\frac{5x^{2}-12x}{5}=\frac{7}{5}$$

A(z) 5 értékkel való osztás eltünteti a(z) 5 értékkel való szorzást.

$$x^{2}-\frac{12}{5}x=\frac{7}{5}$$

Elosztjuk a(z) -\frac{12}{5} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{6}{5}. Ezután hozzáadjuk -\frac{6}{5} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-\frac{12}{5}x+\left(-\frac{6}{5}\right)^{2}=\frac{7}{5}+\left(-\frac{6}{5}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{6}{5} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-\frac{12}{5}x+\frac{36}{25}=\frac{7}{5}+\frac{36}{25}$$

\frac{7}{5} és \frac{36}{25} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}-\frac{12}{5}x+\frac{36}{25}=\frac{71}{25}$$

Tényezőkre x^{2}-\frac{12}{5}x+\frac{36}{25}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-\frac{6}{5}\right)^{2}=\frac{71}{25}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{6}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{71}{25}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{6}{5}=\frac{\sqrt{71}}{5} x-\frac{6}{5}=-\frac{\sqrt{71}}{5}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{6}{5}.

$$x=\frac{\sqrt{71}+6}{5} x=\frac{6-\sqrt{71}}{5}$$