5x^2+3x-10=0 megoldása

$$5 { x }^{ 2 } +3x-10 = 0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x = \frac{\sqrt{209} - 3}{10} \approx 1,145683229$$

$$x=\frac{-\sqrt{209}-3}{10}\approx -1,745683229$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$5x^{2}+3x-10=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 5 értéket a-ba, a(z) 3 értéket b-be és a(z) -10 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 5\left(-10\right)}}{2\times 5}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 3.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 5\left(-10\right)}}{2\times 5}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 5.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-20\left(-10\right)}}{2\times 5}$$

Összeszorozzuk a következőket: -20 és -10.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+200}}{2\times 5}$$

Összeadjuk a következőket: 9 és 200.

$$x=\frac{-3±\sqrt{209}}{2\times 5}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 5.

$$x=\frac{-3±\sqrt{209}}{10}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-3±\sqrt{209}}{10}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -3 és \sqrt{209}.

$$x=\frac{\sqrt{209}-3}{10}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-3±\sqrt{209}}{10}). ± előjele negatív. \sqrt{209} kivonása a következőből: -3.

$$x=\frac{-\sqrt{209}-3}{10}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{\sqrt{209}-3}{10} x=\frac{-\sqrt{209}-3}{10}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$5x^{2}+3x-10=0$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 10.

$$5x^{2}+3x-10-\left(-10\right)=-\left(-10\right)$$

Ha kivonjuk a(z) -10 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$5x^{2}+3x=-\left(-10\right)$$

-10 kivonása a következőből: 0.

$$5x^{2}+3x=10$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 5.

$$\frac{5x^{2}+3x}{5}=\frac{10}{5}$$

A(z) 5 értékkel való osztás eltünteti a(z) 5 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\frac{3}{5}x=\frac{10}{5}$$

10 elosztása a következővel: 5.

$$x^{2}+\frac{3}{5}x=2$$

Elosztjuk a(z) \frac{3}{5} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye \frac{3}{10}. Ezután hozzáadjuk \frac{3}{10} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}+\frac{3}{5}x+\left(\frac{3}{10}\right)^{2}=2+\left(\frac{3}{10}\right)^{2}$$

A(z) \frac{3}{10} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}+\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}=2+\frac{9}{100}$$

Összeadjuk a következőket: 2 és \frac{9}{100}.

$$x^{2}+\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}=\frac{209}{100}$$

Tényezőkre x^{2}+\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x+\frac{3}{10}\right)^{2}=\frac{209}{100}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{209}{100}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x+\frac{3}{10}=\frac{\sqrt{209}}{10} x+\frac{3}{10}=-\frac{\sqrt{209}}{10}$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{3}{10}.

$$x=\frac{\sqrt{209}-3}{10} x=\frac{-\sqrt{209}-3}{10}$$