48x^2-52x-26=0 megoldása

$$48 x ^ { 2 } - 52 x - 26 = 0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x = \frac{\sqrt{481} + 13}{24} \approx 1,455488008$$

$$x=\frac{13-\sqrt{481}}{24}\approx -0,372154675$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$48x^{2}-52x-26=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 48 értéket a-ba, a(z) -52 értéket b-be és a(z) -26 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-52\right)±\sqrt{\left(-52\right)^{2}-4\times 48\left(-26\right)}}{2\times 48}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -52.

$$x=\frac{-\left(-52\right)±\sqrt{2704-4\times 48\left(-26\right)}}{2\times 48}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 48.

$$x=\frac{-\left(-52\right)±\sqrt{2704-192\left(-26\right)}}{2\times 48}$$

Összeszorozzuk a következőket: -192 és -26.

$$x=\frac{-\left(-52\right)±\sqrt{2704+4992}}{2\times 48}$$

Összeadjuk a következőket: 2704 és 4992.

$$x=\frac{-\left(-52\right)±\sqrt{7696}}{2\times 48}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 7696.

$$x=\frac{-\left(-52\right)±4\sqrt{481}}{2\times 48}$$

-52 ellentettje 52.

$$x=\frac{52±4\sqrt{481}}{2\times 48}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 48.

$$x=\frac{52±4\sqrt{481}}{96}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{52±4\sqrt{481}}{96}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 52 és 4\sqrt{481}.

$$x=\frac{4\sqrt{481}+52}{96}$$

52+4\sqrt{481} elosztása a következővel: 96.

$$x=\frac{\sqrt{481}+13}{24}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{52±4\sqrt{481}}{96}). ± előjele negatív. 4\sqrt{481} kivonása a következőből: 52.

$$x=\frac{52-4\sqrt{481}}{96}$$

52-4\sqrt{481} elosztása a következővel: 96.

$$x=\frac{13-\sqrt{481}}{24}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{\sqrt{481}+13}{24} x=\frac{13-\sqrt{481}}{24}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$48x^{2}-52x-26=0$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 26.

$$48x^{2}-52x-26-\left(-26\right)=-\left(-26\right)$$

Ha kivonjuk a(z) -26 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$48x^{2}-52x=-\left(-26\right)$$

-26 kivonása a következőből: 0.

$$48x^{2}-52x=26$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 48.

$$\frac{48x^{2}-52x}{48}=\frac{26}{48}$$

A(z) 48 értékkel való osztás eltünteti a(z) 48 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\left(-\frac{52}{48}\right)x=\frac{26}{48}$$

A törtet (\frac{-52}{48}) leegyszerűsítjük 4 kivonásával és kiejtésével.

$$x^{2}-\frac{13}{12}x=\frac{26}{48}$$

A törtet (\frac{26}{48}) leegyszerűsítjük 2 kivonásával és kiejtésével.

$$x^{2}-\frac{13}{12}x=\frac{13}{24}$$

Elosztjuk a(z) -\frac{13}{12} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{13}{24}. Ezután hozzáadjuk -\frac{13}{24} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-\frac{13}{12}x+\left(-\frac{13}{24}\right)^{2}=\frac{13}{24}+\left(-\frac{13}{24}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{13}{24} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-\frac{13}{12}x+\frac{169}{576}=\frac{13}{24}+\frac{169}{576}$$

\frac{13}{24} és \frac{169}{576} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}-\frac{13}{12}x+\frac{169}{576}=\frac{481}{576}$$

Tényezőkre x^{2}-\frac{13}{12}x+\frac{169}{576}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-\frac{13}{24}\right)^{2}=\frac{481}{576}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{13}{24}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{481}{576}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{13}{24}=\frac{\sqrt{481}}{24} x-\frac{13}{24}=-\frac{\sqrt{481}}{24}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{13}{24}.

$$x=\frac{\sqrt{481}+13}{24} x=\frac{13-\sqrt{481}}{24}$$