40x+2x(30-2x)=200 megoldása

$$40x+2x(30-2x)=200$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x = \frac{5 \sqrt{17} + 25}{2} \approx 22,807764064$$

$$x = \frac{25 - 5 \sqrt{17}}{2} \approx 2,192235936$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: 2x és 30-2x.

$$40x+60x-4x^{2}=200$$

Összevonjuk a következőket: 40x és 60x. Az eredmény 100x.

$$100x-4x^{2}=200$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 200.

$$100x-4x^{2}-200=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$-4x^{2}+100x-200=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) -4 értéket a-ba, a(z) 100 értéket b-be és a(z) -200 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-100±\sqrt{100^{2}-4\left(-4\right)\left(-200\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 100.

$$x=\frac{-100±\sqrt{10000-4\left(-4\right)\left(-200\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és -4.

$$x=\frac{-100±\sqrt{10000+16\left(-200\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: 16 és -200.

$$x=\frac{-100±\sqrt{10000-3200}}{2\left(-4\right)}$$

Összeadjuk a következőket: 10000 és -3200.

$$x=\frac{-100±\sqrt{6800}}{2\left(-4\right)}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 6800.

$$x=\frac{-100±20\sqrt{17}}{2\left(-4\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és -4.

$$x=\frac{-100±20\sqrt{17}}{-8}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-100±20\sqrt{17}}{-8}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -100 és 20\sqrt{17}.

$$x=\frac{20\sqrt{17}-100}{-8}$$

-100+20\sqrt{17} elosztása a következővel: -8.

$$x=\frac{25-5\sqrt{17}}{2}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-100±20\sqrt{17}}{-8}). ± előjele negatív. 20\sqrt{17} kivonása a következőből: -100.

$$x=\frac{-20\sqrt{17}-100}{-8}$$

-100-20\sqrt{17} elosztása a következővel: -8.

$$x=\frac{5\sqrt{17}+25}{2}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{25-5\sqrt{17}}{2} x=\frac{5\sqrt{17}+25}{2}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: 2x és 30-2x.

$$40x+60x-4x^{2}=200$$

Összevonjuk a következőket: 40x és 60x. Az eredmény 100x.

$$100x-4x^{2}=200$$

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$-4x^{2}+100x=200$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: -4.

$$\frac{-4x^{2}+100x}{-4}=\frac{200}{-4}$$

A(z) -4 értékkel való osztás eltünteti a(z) -4 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\frac{100}{-4}x=\frac{200}{-4}$$

100 elosztása a következővel: -4.

$$x^{2}-25x=\frac{200}{-4}$$

200 elosztása a következővel: -4.

$$x^{2}-25x=-50$$

Elosztjuk a(z) -25 értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{25}{2}. Ezután hozzáadjuk -\frac{25}{2} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-25x+\left(-\frac{25}{2}\right)^{2}=-50+\left(-\frac{25}{2}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{25}{2} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-25x+\frac{625}{4}=-50+\frac{625}{4}$$

Összeadjuk a következőket: -50 és \frac{625}{4}.

$$x^{2}-25x+\frac{625}{4}=\frac{425}{4}$$

Tényezőkre x^{2}-25x+\frac{625}{4}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-\frac{25}{2}\right)^{2}=\frac{425}{4}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{25}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{425}{4}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{25}{2}=\frac{5\sqrt{17}}{2} x-\frac{25}{2}=-\frac{5\sqrt{17}}{2}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{25}{2}.

$$x=\frac{5\sqrt{17}+25}{2} x=\frac{25-5\sqrt{17}}{2}$$