4x-5y=2text{and}x+10y=41 megoldása

$$4 x - 5 y = 2 \text { and } x + 10 y = 41$$

Megoldás a(z) x, y változóra

$$x=5$$

$$y = \frac{18}{5} = 3\frac{3}{5} = 3,6$$

Lépések helyettesítés használatával

Egy két egyenletből álló egyenletrendszer helyettesítéssel történő megoldásához először kifejezzük az egyik egyenletből az egyik változót. Ezután az eredményt behelyettesítjük ezen változó helyére a másik egyenletben.

$$4x-5y=2,x+10y=41$$

Az egyik egyenletből kifejezzük a(z) x változót úgy, hogy a(z) x változót elkülönítjük az egyenlőségjel bal oldalára.

$$4x-5y=2$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 5y.

$$4x=5y+2$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(5y+2\right)$$

Összeszorozzuk a következőket: \frac{1}{4} és 5y+2.

$$x=\frac{5}{4}y+\frac{1}{2}$$

Behelyettesítjük a(z) \frac{5y}{4}+\frac{1}{2} értéket x helyére a másik, x+10y=41 egyenletben.

$$\frac{5}{4}y+\frac{1}{2}+10y=41$$

Összeadjuk a következőket: \frac{5y}{4} és 10y.

$$\frac{45}{4}y+\frac{1}{2}=41$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{1}{2}.

$$\frac{45}{4}y=\frac{81}{2}$$

Az egyenlet mindkét oldalát elosztjuk a következővel: \frac{45}{4}. Ez ugyanaz, mintha mindkét oldalt megszoroznánk a tört reciprokával.

$$y=\frac{18}{5}$$

A(z) x=\frac{5}{4}y+\frac{1}{2} egyenletben behelyettesítjük y helyére a következőt: \frac{18}{5}. Mivel az így kapott egyenlet csak egy változót tartalmaz, közvetlenül megoldható a(z) x változóra.

$$x=\frac{5}{4}\times \frac{18}{5}+\frac{1}{2}$$

Összeszorozzuk a következőket: \frac{5}{4} és \frac{18}{5}. Ezt úgy végezzük, hogy a számlálót megszorozzuk a számlálóval, a nevezőt pedig a nevezővel. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x=\frac{9+1}{2}$$

\frac{1}{2} és \frac{9}{2} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x=5$$

A rendszer megoldva.

$$x=5,y=\frac{18}{5}$$

Lépések mátrixok használatával

Az egyenleteket kanonikus alakra hozzuk, majd mátrixok használatával megoldjuk az egyenletrendszert.

$$4x-5y=2,x+10y=41$$

Felírjuk az egyenleteket mátrixformában.

$$\left(\begin{matrix}4&-5\\1&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\41\end{matrix}\right)$$

Balról megszorozzuk az egyenletet \left(\begin{matrix}4&-5\\1&10\end{matrix}\right) inverz mátrixával.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\1&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-5\\1&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\1&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\41\end{matrix}\right)$$

Ha összeszorzunk egy mátrixot az inverzével, egységmátrixot kapunk.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\1&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\41\end{matrix}\right)$$

Összeszorozzuk az egyenlőségjel bal oldalán lévő mátrixokat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\1&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\41\end{matrix}\right)$$

Az 2\times 2-es mátrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) inverz mátrixa a \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), így a mátrixegyenlet felírható mátrixszorzásként.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{4\times 10-\left(-5\right)}&-\frac{-5}{4\times 10-\left(-5\right)}\\-\frac{1}{4\times 10-\left(-5\right)}&\frac{4}{4\times 10-\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\41\end{matrix}\right)$$

Elvégezzük a számolást.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{9}&\frac{1}{9}\\-\frac{1}{45}&\frac{4}{45}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\41\end{matrix}\right)$$

Összeszorozzuk a mátrixokat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{9}\times 2+\frac{1}{9}\times 41\\-\frac{1}{45}\times 2+\frac{4}{45}\times 41\end{matrix}\right)$$

Elvégezzük a számolást.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\\frac{18}{5}\end{matrix}\right)$$

A mátrixból megkapjuk a(z) x és y elemeket.

$$x=5,y=\frac{18}{5}$$

Lépések a behelyettesítő módszer használatával

A behelyettesítéses megoldáshoz az egyik változó együtthatóinak meg kell egyezniük mindkét egyenletben, így amikor az egyik egyenletet kivonjuk a másikból, a változó kiesik.

$$4x-5y=2,x+10y=41$$

4x és x egyenlővé tételéhez az első egyenlet mindkét oldalán megszorzunk minden tagot a következővel: 1, a második egyenlet mindkét oldalán pedig megszorzunk minden tagot a következővel: 4.

$$4x-5y=2,4x+4\times 10y=4\times 41$$

Egyszerűsítünk.

$$4x-5y=2,4x+40y=164$$

4x+40y=164 kivonása a következőből: 4x-5y=2: az egyenlőségjel mindkét oldalán kivonjuk egymásból az egynemű tagokat.

$$4x-4x-5y-40y=2-164$$

Összeadjuk a következőket: 4x és -4x. 4x és -4x kiesik, így egyváltozós egyenletet kapunk, amely megoldható.

$$-5y-40y=2-164$$

Összeadjuk a következőket: -5y és -40y.

$$-45y=2-164$$

Összeadjuk a következőket: 2 és -164.

$$-45y=-162$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: -45.

$$y=\frac{18}{5}$$

A(z) x+10y=41 egyenletben behelyettesítjük y helyére a következőt: \frac{18}{5}. Mivel az így kapott egyenlet csak egy változót tartalmaz, közvetlenül megoldható a(z) x változóra.

$$x+10\times \frac{18}{5}=41$$

Összeszorozzuk a következőket: 10 és \frac{18}{5}.

$$x+36=41$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 36.

$$x=5$$

A rendszer megoldva.

$$x=5,y=\frac{18}{5}$$