4x(x-4)+7geq0 megoldása

$$4 x ( x - 4 ) + 7 \geq 0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x\in (-\infty,\frac{1}{2}]\cup [\frac{7}{2},\infty)$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: 4x és x-4.

$$4x^{2}-16x+7\geq 0$$

Az egyenlőtlenség megoldásához szorzattá alakítjuk a bal oldalt. A másodfokú polinomiális kifejezés ezzel a transzformációval faktorálható: ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). A másodfokú egyenlet (ax^{2}+bx+c=0) két megoldása x_{1} és x_{2}.

$$4x^{2}-16x+7=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Behelyettesítjük a(z) 4 értéket a-ba, a(z) -16 értéket b-be és a(z) 7 értéket c-be a megoldóképletben.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{\left(-16\right)^{2}-4\times 4\times 7}}{2\times 4}$$

Elvégezzük a számításokat.

$$x=\frac{16±12}{8}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{16±12}{8}). ± előjele pozitív, ± előjele pedig negatív.

$$x=\frac{7}{2} x=\frac{1}{2}$$

Átírjuk az egyenlőtlenséget a kapott megoldások felhasználásával.

$$4\left(x-\frac{7}{2}\right)\left(x-\frac{1}{2}\right)\geq 0$$

A szorzat csak akkor ≥0, ha a két érték (x-\frac{7}{2} és x-\frac{1}{2}) egyaránt ≤0 vagy ≥0. Tegyük fel, hogy x-\frac{7}{2} és x-\frac{1}{2} eredménye egyaránt ≤0.

$$x-\frac{7}{2}\leq 0 x-\frac{1}{2}\leq 0$$

A mindkét egyenlőtlenséget kielégítő megoldás x\leq \frac{1}{2}.

$$x\leq \frac{1}{2}$$

Tegyük fel, hogy x-\frac{7}{2} és x-\frac{1}{2} eredménye egyaránt ≥0.

$$x-\frac{1}{2}\geq 0 x-\frac{7}{2}\geq 0$$

A mindkét egyenlőtlenséget kielégítő megoldás x\geq \frac{7}{2}.

$$x\geq \frac{7}{2}$$

Az utolsó megoldás a kapott megoldások uniója.

$$x\leq \frac{1}{2}\text{; }x\geq \frac{7}{2}$$