4x^3+2x^2+x+7=49 megoldása

$$4 x ^ { 3 } + 2 x ^ { 2 } + x + 7 = 49$$

Megoldás a(z) x változóra (complex solution)

$$x=\frac{-\sqrt{59}i-5}{4}\approx -1,25-1,920286437i$$

$$x=2$$

$$x=\frac{-5+\sqrt{59}i}{4}\approx -1,25+1,920286437i$$

A megoldás lépései

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 49.

$$4x^{3}+2x^{2}+x+7-49=0$$

Kivonjuk a(z) 49 értékből a(z) 7 értéket. Az eredmény -42.

$$4x^{3}+2x^{2}+x-42=0$$

A Rolle-féle gyöktétel alapján, a polinom összes racionális gyöke \frac{p}{q} formájú, ahol p osztója a(z) -42 állandónak, és q osztója a(z) 4 főegyütthatónak. Az összes lehetséges \frac{p}{q} listázása.

$$±\frac{21}{2},±21,±42,±\frac{21}{4},±\frac{7}{2},±7,±14,±\frac{7}{4},±\frac{3}{2},±3,±6,±\frac{3}{4},±\frac{1}{2},±1,±2,±\frac{1}{4}$$

Keresünk egy ilyen gyököt úgy, hogy az összes egész értékkel próbálkozunk, az abszolút érték szerinti legkisebbel kezdve. Ha nincs találat egész gyökökre, törtekkel próbálkozunk tovább.

$$x=2$$

A faktorizációs tétel alapján a(z) x-k minden k gyök esetén osztója a polinomnak. Elosztjuk a(z) 4x^{3}+2x^{2}+x-42 értéket a(z) x-2 értékkel. Az eredmény 4x^{2}+10x+21. Megoldjuk az egyenletet úgy, hogy 0 legyen az eredménye.

$$4x^{2}+10x+21=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Behelyettesítjük a(z) 4 értéket a-ba, a(z) 10 értéket b-be és a(z) 21 értéket c-be a megoldóképletben.

$$x=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 4\times 21}}{2\times 4}$$

Elvégezzük a számításokat.

$$x=\frac{-10±\sqrt{-236}}{8}$$

Megoldjuk az egyenletet (4x^{2}+10x+21=0). ± előjele pozitív, ± előjele pedig negatív.

$$x=\frac{-\sqrt{59}i-5}{4} x=\frac{-5+\sqrt{59}i}{4}$$

Listát készítünk az összes lehetséges megoldásról.

$$x=2 x=\frac{-\sqrt{59}i-5}{4} x=\frac{-5+\sqrt{59}i}{4}$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=2$$

A megoldás lépései

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 49.

$$4x^{3}+2x^{2}+x+7-49=0$$

Kivonjuk a(z) 49 értékből a(z) 7 értéket. Az eredmény -42.

$$4x^{3}+2x^{2}+x-42=0$$

A Rolle-féle gyöktétel alapján, a polinom összes racionális gyöke \frac{p}{q} formájú, ahol p osztója a(z) -42 állandónak, és q osztója a(z) 4 főegyütthatónak. Az összes lehetséges \frac{p}{q} listázása.

$$±\frac{21}{2},±21,±42,±\frac{21}{4},±\frac{7}{2},±7,±14,±\frac{7}{4},±\frac{3}{2},±3,±6,±\frac{3}{4},±\frac{1}{2},±1,±2,±\frac{1}{4}$$

Keresünk egy ilyen gyököt úgy, hogy az összes egész értékkel próbálkozunk, az abszolút érték szerinti legkisebbel kezdve. Ha nincs találat egész gyökökre, törtekkel próbálkozunk tovább.

$$x=2$$

A faktorizációs tétel alapján a(z) x-k minden k gyök esetén osztója a polinomnak. Elosztjuk a(z) 4x^{3}+2x^{2}+x-42 értéket a(z) x-2 értékkel. Az eredmény 4x^{2}+10x+21. Megoldjuk az egyenletet úgy, hogy 0 legyen az eredménye.

$$4x^{2}+10x+21=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Behelyettesítjük a(z) 4 értéket a-ba, a(z) 10 értéket b-be és a(z) 21 értéket c-be a megoldóképletben.

$$x=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 4\times 21}}{2\times 4}$$

Elvégezzük a számításokat.

$$x=\frac{-10±\sqrt{-236}}{8}$$

Nincs megoldása az egyenletnek, mert az egyik negatív szám négyzetgyöke nincs definiálva a valós számok mezőjében.

$$x\in \emptyset$$

Listát készítünk az összes lehetséges megoldásról.

$$x=2$$