4x^2-8x-5=0 megoldása

$$4 x ^ { 2 } - 8 x - 5 = 0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=-\frac{1}{2}=-0,5$$

$$x = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2,5$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk 4x^{2}+ax+bx-5 alakúvá. A a és b megkereséséhez állítson be egy rendszer-egy rendszert.

$$a+b=-8 ab=4\left(-5\right)=-20$$

Mivel a ab negatív, a és b rendelkezik a megfelelő előjel között. Mivel a a+b negatív, a negatív szám nagyobb abszolút értéket tartalmaz, mint a pozitív érték. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata -20.

$$1,-20 2,-10 4,-5$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$1-20=-19 2-10=-8 4-5=-1$$

A megoldás az a pár, amelynek összege -8.

$$a=-10 b=2$$

Átírjuk az értéket (4x^{2}-8x-5) \left(4x^{2}-10x\right)+\left(2x-5\right) alakban.

$$\left(4x^{2}-10x\right)+\left(2x-5\right)$$

Emelje ki a(z) 2x elemet a(z) 4x^{2}-10x kifejezésből.

$$2x\left(2x-5\right)+2x-5$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) 2x-5 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(2x-5\right)\left(2x+1\right)$$

Az egyenletmegoldások kereséséhez, a 2x-5=0 és a 2x+1=0.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{1}{2}$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$4x^{2}-8x-5=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 4 értéket a-ba, a(z) -8 értéket b-be és a(z) -5 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 4\left(-5\right)}}{2\times 4}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -8.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 4\left(-5\right)}}{2\times 4}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 4.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-16\left(-5\right)}}{2\times 4}$$

Összeszorozzuk a következőket: -16 és -5.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+80}}{2\times 4}$$

Összeadjuk a következőket: 64 és 80.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{144}}{2\times 4}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 144.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±12}{2\times 4}$$

-8 ellentettje 8.

$$x=\frac{8±12}{2\times 4}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 4.

$$x=\frac{8±12}{8}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{8±12}{8}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 8 és 12.

$$x=\frac{20}{8}$$

A törtet (\frac{20}{8}) leegyszerűsítjük 4 kivonásával és kiejtésével.

$$x=\frac{5}{2}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{8±12}{8}). ± előjele negatív. 12 kivonása a következőből: 8.

$$x=-\frac{4}{8}$$

A törtet (\frac{-4}{8}) leegyszerűsítjük 4 kivonásával és kiejtésével.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{1}{2}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$4x^{2}-8x-5=0$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 5.

$$4x^{2}-8x-5-\left(-5\right)=-\left(-5\right)$$

Ha kivonjuk a(z) -5 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$4x^{2}-8x=-\left(-5\right)$$

-5 kivonása a következőből: 0.

$$4x^{2}-8x=5$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 4.

$$\frac{4x^{2}-8x}{4}=\frac{5}{4}$$

A(z) 4 értékkel való osztás eltünteti a(z) 4 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\left(-\frac{8}{4}\right)x=\frac{5}{4}$$

-8 elosztása a következővel: 4.

$$x^{2}-2x=\frac{5}{4}$$

Elosztjuk a(z) -2 értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -1. Ezután hozzáadjuk -1 négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-2x+1=\frac{5}{4}+1$$

Összeadjuk a következőket: \frac{5}{4} és 1.

$$x^{2}-2x+1=\frac{9}{4}$$

Tényezőkre x^{2}-2x+1. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-1\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-1=\frac{3}{2} x-1=-\frac{3}{2}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 1.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{1}{2}$$