4x^2+28x+53=0 megoldása

$$4 x ^ { 2 } + 28 x + 53 = 0$$

Megoldás a(z) x változóra (complex solution)

$$x=-\frac{7}{2}+i=-3,5+i$$

$$x=-\frac{7}{2}-i=-3,5-i$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$4x^{2}+28x+53=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 4 értéket a-ba, a(z) 28 értéket b-be és a(z) 53 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-28±\sqrt{28^{2}-4\times 4\times 53}}{2\times 4}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 28.

$$x=\frac{-28±\sqrt{784-4\times 4\times 53}}{2\times 4}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 4.

$$x=\frac{-28±\sqrt{784-16\times 53}}{2\times 4}$$

Összeszorozzuk a következőket: -16 és 53.

$$x=\frac{-28±\sqrt{784-848}}{2\times 4}$$

Összeadjuk a következőket: 784 és -848.

$$x=\frac{-28±\sqrt{-64}}{2\times 4}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: -64.

$$x=\frac{-28±8i}{2\times 4}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 4.

$$x=\frac{-28±8i}{8}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-28±8i}{8}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -28 és 8i.

$$x=\frac{-28+8i}{8}$$

-28+8i elosztása a következővel: 8.

$$x=-\frac{7}{2}+i$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-28±8i}{8}). ± előjele negatív. 8i kivonása a következőből: -28.

$$x=\frac{-28-8i}{8}$$

-28-8i elosztása a következővel: 8.

$$x=-\frac{7}{2}-i$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=-\frac{7}{2}+i x=-\frac{7}{2}-i$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$4x^{2}+28x+53=0$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 53.

$$4x^{2}+28x+53-53=-53$$

Ha kivonjuk a(z) 53 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$4x^{2}+28x=-53$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 4.

$$\frac{4x^{2}+28x}{4}=-\frac{53}{4}$$

A(z) 4 értékkel való osztás eltünteti a(z) 4 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\frac{28}{4}x=-\frac{53}{4}$$

28 elosztása a következővel: 4.

$$x^{2}+7x=-\frac{53}{4}$$

Elosztjuk a(z) 7 értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye \frac{7}{2}. Ezután hozzáadjuk \frac{7}{2} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}+7x+\left(\frac{7}{2}\right)^{2}=-\frac{53}{4}+\left(\frac{7}{2}\right)^{2}$$

A(z) \frac{7}{2} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}+7x+\frac{49}{4}=\frac{-53+49}{4}$$

-\frac{53}{4} és \frac{49}{4} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}+7x+\frac{49}{4}=-1$$

Tényezőkre x^{2}+7x+\frac{49}{4}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x+\frac{7}{2}\right)^{2}=-1$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-1}$$

Egyszerűsítünk.

$$x+\frac{7}{2}=i x+\frac{7}{2}=-i$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{7}{2}.

$$x=-\frac{7}{2}+i x=-\frac{7}{2}-i$$