4x+102=-20x(3-6x) megoldása

$$4 x + 102 = - 20 x ( 3 - 6 x )$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=\frac{\sqrt{829}}{30}+\frac{4}{15}\approx 1,226412003$$

$$x=-\frac{\sqrt{829}}{30}+\frac{4}{15}\approx -0,69307867$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: -20x és 3-6x.

$$4x+102=-60x+120x^{2}$$

Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: 60x.

$$4x+102+60x=120x^{2}$$

Összevonjuk a következőket: 4x és 60x. Az eredmény 64x.

$$64x+102=120x^{2}$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 120x^{2}.

$$64x+102-120x^{2}=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$-120x^{2}+64x+102=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) -120 értéket a-ba, a(z) 64 értéket b-be és a(z) 102 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-64±\sqrt{64^{2}-4\left(-120\right)\times 102}}{2\left(-120\right)}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 64.

$$x=\frac{-64±\sqrt{4096-4\left(-120\right)\times 102}}{2\left(-120\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és -120.

$$x=\frac{-64±\sqrt{4096+480\times 102}}{2\left(-120\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: 480 és 102.

$$x=\frac{-64±\sqrt{4096+48960}}{2\left(-120\right)}$$

Összeadjuk a következőket: 4096 és 48960.

$$x=\frac{-64±\sqrt{53056}}{2\left(-120\right)}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 53056.

$$x=\frac{-64±8\sqrt{829}}{2\left(-120\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és -120.

$$x=\frac{-64±8\sqrt{829}}{-240}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-64±8\sqrt{829}}{-240}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -64 és 8\sqrt{829}.

$$x=\frac{8\sqrt{829}-64}{-240}$$

-64+8\sqrt{829} elosztása a következővel: -240.

$$x=-\frac{\sqrt{829}}{30}+\frac{4}{15}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-64±8\sqrt{829}}{-240}). ± előjele negatív. 8\sqrt{829} kivonása a következőből: -64.

$$x=\frac{-8\sqrt{829}-64}{-240}$$

-64-8\sqrt{829} elosztása a következővel: -240.

$$x=\frac{\sqrt{829}}{30}+\frac{4}{15}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=-\frac{\sqrt{829}}{30}+\frac{4}{15} x=\frac{\sqrt{829}}{30}+\frac{4}{15}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: -20x és 3-6x.

$$4x+102=-60x+120x^{2}$$

Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: 60x.

$$4x+102+60x=120x^{2}$$

Összevonjuk a következőket: 4x és 60x. Az eredmény 64x.

$$64x+102=120x^{2}$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 120x^{2}.

$$64x+102-120x^{2}=0$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 102. Ha nullából von ki számot, annak ellentettjét kapja.

$$64x-120x^{2}=-102$$

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$-120x^{2}+64x=-102$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: -120.

$$\frac{-120x^{2}+64x}{-120}=-\frac{102}{-120}$$

A(z) -120 értékkel való osztás eltünteti a(z) -120 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\frac{64}{-120}x=-\frac{102}{-120}$$

A törtet (\frac{64}{-120}) leegyszerűsítjük 8 kivonásával és kiejtésével.

$$x^{2}-\frac{8}{15}x=-\frac{102}{-120}$$

A törtet (\frac{-102}{-120}) leegyszerűsítjük 6 kivonásával és kiejtésével.

$$x^{2}-\frac{8}{15}x=\frac{17}{20}$$

Elosztjuk a(z) -\frac{8}{15} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{4}{15}. Ezután hozzáadjuk -\frac{4}{15} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-\frac{8}{15}x+\left(-\frac{4}{15}\right)^{2}=\frac{17}{20}+\left(-\frac{4}{15}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{4}{15} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-\frac{8}{15}x+\frac{16}{225}=\frac{17}{20}+\frac{16}{225}$$

\frac{17}{20} és \frac{16}{225} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}-\frac{8}{15}x+\frac{16}{225}=\frac{829}{900}$$

Tényezőkre x^{2}-\frac{8}{15}x+\frac{16}{225}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-\frac{4}{15}\right)^{2}=\frac{829}{900}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{4}{15}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{829}{900}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{4}{15}=\frac{\sqrt{829}}{30} x-\frac{4}{15}=-\frac{\sqrt{829}}{30}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{4}{15}.

$$x=\frac{\sqrt{829}}{30}+\frac{4}{15} x=-\frac{\sqrt{829}}{30}+\frac{4}{15}$$