4w+16w^2=80 megoldása

$$4 w + 16 w ^ { 2 } = 80$$

Megoldás a(z) w változóra

$$w = \frac{\sqrt{321} - 1}{8} \approx 2,114559108$$

$$w=\frac{-\sqrt{321}-1}{8}\approx -2,364559108$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$16w^{2}+4w=80$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 80.

$$16w^{2}+4w-80=80-80$$

Ha kivonjuk a(z) 80 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$16w^{2}+4w-80=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 16 értéket a-ba, a(z) 4 értéket b-be és a(z) -80 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$w=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 16\left(-80\right)}}{2\times 16}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 4.

$$w=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 16\left(-80\right)}}{2\times 16}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 16.

$$w=\frac{-4±\sqrt{16-64\left(-80\right)}}{2\times 16}$$

Összeszorozzuk a következőket: -64 és -80.

$$w=\frac{-4±\sqrt{16+5120}}{2\times 16}$$

Összeadjuk a következőket: 16 és 5120.

$$w=\frac{-4±\sqrt{5136}}{2\times 16}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 5136.

$$w=\frac{-4±4\sqrt{321}}{2\times 16}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 16.

$$w=\frac{-4±4\sqrt{321}}{32}$$

Megoldjuk az egyenletet (w=\frac{-4±4\sqrt{321}}{32}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -4 és 4\sqrt{321}.

$$w=\frac{4\sqrt{321}-4}{32}$$

-4+4\sqrt{321} elosztása a következővel: 32.

$$w=\frac{\sqrt{321}-1}{8}$$

Megoldjuk az egyenletet (w=\frac{-4±4\sqrt{321}}{32}). ± előjele negatív. 4\sqrt{321} kivonása a következőből: -4.

$$w=\frac{-4\sqrt{321}-4}{32}$$

-4-4\sqrt{321} elosztása a következővel: 32.

$$w=\frac{-\sqrt{321}-1}{8}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$w=\frac{\sqrt{321}-1}{8} w=\frac{-\sqrt{321}-1}{8}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$16w^{2}+4w=80$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 16.

$$\frac{16w^{2}+4w}{16}=\frac{80}{16}$$

A(z) 16 értékkel való osztás eltünteti a(z) 16 értékkel való szorzást.

$$w^{2}+\frac{4}{16}w=\frac{80}{16}$$

A törtet (\frac{4}{16}) leegyszerűsítjük 4 kivonásával és kiejtésével.

$$w^{2}+\frac{1}{4}w=\frac{80}{16}$$

80 elosztása a következővel: 16.

$$w^{2}+\frac{1}{4}w=5$$

Elosztjuk a(z) \frac{1}{4} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye \frac{1}{8}. Ezután hozzáadjuk \frac{1}{8} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$w^{2}+\frac{1}{4}w+\left(\frac{1}{8}\right)^{2}=5+\left(\frac{1}{8}\right)^{2}$$

A(z) \frac{1}{8} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$w^{2}+\frac{1}{4}w+\frac{1}{64}=5+\frac{1}{64}$$

Összeadjuk a következőket: 5 és \frac{1}{64}.

$$w^{2}+\frac{1}{4}w+\frac{1}{64}=\frac{321}{64}$$

Tényezőkre w^{2}+\frac{1}{4}w+\frac{1}{64}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(w+\frac{1}{8}\right)^{2}=\frac{321}{64}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(w+\frac{1}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{321}{64}}$$

Egyszerűsítünk.

$$w+\frac{1}{8}=\frac{\sqrt{321}}{8} w+\frac{1}{8}=-\frac{\sqrt{321}}{8}$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{1}{8}.

$$w=\frac{\sqrt{321}-1}{8} w=\frac{-\sqrt{321}-1}{8}$$