4k^2+12k+9=0 megoldása

$$4 k ^ { 2 } + 12 k + 9 = 0$$

Megoldás a(z) k változóra

$$k = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1,5$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk 4k^{2}+ak+bk+9 alakúvá. A a és b megkereséséhez állítson be egy rendszer-egy rendszert.

$$a+b=12 ab=4\times 9=36$$

Mivel ab pozitív, a és b azonos aláírására. Mivel a+b pozitív, a és b egyaránt pozitív. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata 36.

$$1,36 2,18 3,12 4,9 6,6$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$1+36=37 2+18=20 3+12=15 4+9=13 6+6=12$$

A megoldás az a pár, amelynek összege 12.

$$a=6 b=6$$

Átírjuk az értéket (4k^{2}+12k+9) \left(4k^{2}+6k\right)+\left(6k+9\right) alakban.

$$\left(4k^{2}+6k\right)+\left(6k+9\right)$$

A 2k a második csoportban lévő első és 3 faktort.

$$2k\left(2k+3\right)+3\left(2k+3\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) 2k+3 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(2k+3\right)\left(2k+3\right)$$

Átírjuk kéttagú kifejezés négyzetére.

$$\left(2k+3\right)^{2}$$

Az egyenlet megoldásához elvégezzük ezt a műveletet: 2k+3=0.

$$k=-\frac{3}{2}$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$4k^{2}+12k+9=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 4 értéket a-ba, a(z) 12 értéket b-be és a(z) 9 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$k=\frac{-12±\sqrt{12^{2}-4\times 4\times 9}}{2\times 4}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 12.

$$k=\frac{-12±\sqrt{144-4\times 4\times 9}}{2\times 4}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 4.

$$k=\frac{-12±\sqrt{144-16\times 9}}{2\times 4}$$

Összeszorozzuk a következőket: -16 és 9.

$$k=\frac{-12±\sqrt{144-144}}{2\times 4}$$

Összeadjuk a következőket: 144 és -144.

$$k=\frac{-12±\sqrt{0}}{2\times 4}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 0.

$$k=-\frac{12}{2\times 4}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 4.

$$k=-\frac{12}{8}$$

A törtet (\frac{-12}{8}) leegyszerűsítjük 4 kivonásával és kiejtésével.

$$k=-\frac{3}{2}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$4k^{2}+12k+9=0$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 9.

$$4k^{2}+12k+9-9=-9$$

Ha kivonjuk a(z) 9 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$4k^{2}+12k=-9$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 4.

$$\frac{4k^{2}+12k}{4}=-\frac{9}{4}$$

A(z) 4 értékkel való osztás eltünteti a(z) 4 értékkel való szorzást.

$$k^{2}+\frac{12}{4}k=-\frac{9}{4}$$

12 elosztása a következővel: 4.

$$k^{2}+3k=-\frac{9}{4}$$

Elosztjuk a(z) 3 értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye \frac{3}{2}. Ezután hozzáadjuk \frac{3}{2} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$k^{2}+3k+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=-\frac{9}{4}+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

A(z) \frac{3}{2} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$k^{2}+3k+\frac{9}{4}=\frac{-9+9}{4}$$

-\frac{9}{4} és \frac{9}{4} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$k^{2}+3k+\frac{9}{4}=0$$

Tényezőkre k^{2}+3k+\frac{9}{4}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(k+\frac{3}{2}\right)^{2}=0$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(k+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Egyszerűsítünk.

$$k+\frac{3}{2}=0 k+\frac{3}{2}=0$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{3}{2}.

$$k=-\frac{3}{2} k=-\frac{3}{2}$$

Megoldottuk az egyenletet. Azonosak a megoldások.

$$k=-\frac{3}{2}$$