4x^2-5x-6=15 megoldása

$$4 { x }^{ 2 } -5x-6=15$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x = -\frac{7}{4} = -1\frac{3}{4} = -1,75$$

$$x=3$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 15.

$$4x^{2}-5x-6-15=0$$

Kivonjuk a(z) 15 értékből a(z) -6 értéket. Az eredmény -21.

$$4x^{2}-5x-21=0$$

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk 4x^{2}+ax+bx-21 alakúvá. A a és b megkereséséhez állítson be egy rendszer-egy rendszert.

$$a+b=-5 ab=4\left(-21\right)=-84$$

Mivel a ab negatív, a és b rendelkezik a megfelelő előjel között. Mivel a a+b negatív, a negatív szám nagyobb abszolút értéket tartalmaz, mint a pozitív érték. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata -84.

$$1,-84 2,-42 3,-28 4,-21 6,-14 7,-12$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$1-84=-83 2-42=-40 3-28=-25 4-21=-17 6-14=-8 7-12=-5$$

A megoldás az a pár, amelynek összege -5.

$$a=-12 b=7$$

Átírjuk az értéket (4x^{2}-5x-21) \left(4x^{2}-12x\right)+\left(7x-21\right) alakban.

$$\left(4x^{2}-12x\right)+\left(7x-21\right)$$

A 4x a második csoportban lévő első és 7 faktort.

$$4x\left(x-3\right)+7\left(x-3\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) x-3 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(x-3\right)\left(4x+7\right)$$

Az egyenletmegoldások kereséséhez, a x-3=0 és a 4x+7=0.

$$x=3 x=-\frac{7}{4}$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$4x^{2}-5x-6=15$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 15.

$$4x^{2}-5x-6-15=15-15$$

Ha kivonjuk a(z) 15 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$4x^{2}-5x-6-15=0$$

15 kivonása a következőből: -6.

$$4x^{2}-5x-21=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 4 értéket a-ba, a(z) -5 értéket b-be és a(z) -21 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 4\left(-21\right)}}{2\times 4}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -5.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 4\left(-21\right)}}{2\times 4}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 4.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-16\left(-21\right)}}{2\times 4}$$

Összeszorozzuk a következőket: -16 és -21.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+336}}{2\times 4}$$

Összeadjuk a következőket: 25 és 336.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{361}}{2\times 4}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 361.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±19}{2\times 4}$$

-5 ellentettje 5.

$$x=\frac{5±19}{2\times 4}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 4.

$$x=\frac{5±19}{8}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{5±19}{8}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 5 és 19.

$$x=\frac{24}{8}$$

24 elosztása a következővel: 8.

$$x=3$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{5±19}{8}). ± előjele negatív. 19 kivonása a következőből: 5.

$$x=-\frac{14}{8}$$

A törtet (\frac{-14}{8}) leegyszerűsítjük 2 kivonásával és kiejtésével.

$$x=-\frac{7}{4}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=3 x=-\frac{7}{4}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$4x^{2}-5x-6=15$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 6.

$$4x^{2}-5x-6-\left(-6\right)=15-\left(-6\right)$$

Ha kivonjuk a(z) -6 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$4x^{2}-5x=15-\left(-6\right)$$

-6 kivonása a következőből: 15.

$$4x^{2}-5x=21$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 4.

$$\frac{4x^{2}-5x}{4}=\frac{21}{4}$$

A(z) 4 értékkel való osztás eltünteti a(z) 4 értékkel való szorzást.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x=\frac{21}{4}$$

Elosztjuk a(z) -\frac{5}{4} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{5}{8}. Ezután hozzáadjuk -\frac{5}{8} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\left(-\frac{5}{8}\right)^{2}=\frac{21}{4}+\left(-\frac{5}{8}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{5}{8} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=\frac{21}{4}+\frac{25}{64}$$

\frac{21}{4} és \frac{25}{64} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=\frac{361}{64}$$

Tényezőkre x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-\frac{5}{8}\right)^{2}=\frac{361}{64}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{64}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{5}{8}=\frac{19}{8} x-\frac{5}{8}=-\frac{19}{8}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{5}{8}.

$$x=3 x=-\frac{7}{4}$$