4x^2-32x+15=0 megoldása

$$4 { x }^{ 2 } -32x+15=0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

$$x = \frac{15}{2} = 7\frac{1}{2} = 7,5$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk 4x^{2}+ax+bx+15 alakúvá. A a és b megkereséséhez állítson be egy rendszer-egy rendszert.

$$a+b=-32 ab=4\times 15=60$$

Mivel ab pozitív, a és b azonos aláírására. Mivel a a+b negatív, a és b negatív. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata 60.

$$-1,-60 -2,-30 -3,-20 -4,-15 -5,-12 -6,-10$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$-1-60=-61 -2-30=-32 -3-20=-23 -4-15=-19 -5-12=-17 -6-10=-16$$

A megoldás az a pár, amelynek összege -32.

$$a=-30 b=-2$$

Átírjuk az értéket (4x^{2}-32x+15) \left(4x^{2}-30x\right)+\left(-2x+15\right) alakban.

$$\left(4x^{2}-30x\right)+\left(-2x+15\right)$$

A 2x a második csoportban lévő első és -1 faktort.

$$2x\left(2x-15\right)-\left(2x-15\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) 2x-15 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(2x-15\right)\left(2x-1\right)$$

Az egyenletmegoldások kereséséhez, a 2x-15=0 és a 2x-1=0.

$$x=\frac{15}{2} x=\frac{1}{2}$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$4x^{2}-32x+15=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 4 értéket a-ba, a(z) -32 értéket b-be és a(z) 15 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{\left(-32\right)^{2}-4\times 4\times 15}}{2\times 4}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -32.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-4\times 4\times 15}}{2\times 4}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 4.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-16\times 15}}{2\times 4}$$

Összeszorozzuk a következőket: -16 és 15.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-240}}{2\times 4}$$

Összeadjuk a következőket: 1024 és -240.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{784}}{2\times 4}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 784.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±28}{2\times 4}$$

-32 ellentettje 32.

$$x=\frac{32±28}{2\times 4}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 4.

$$x=\frac{32±28}{8}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{32±28}{8}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 32 és 28.

$$x=\frac{60}{8}$$

A törtet (\frac{60}{8}) leegyszerűsítjük 4 kivonásával és kiejtésével.

$$x=\frac{15}{2}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{32±28}{8}). ± előjele negatív. 28 kivonása a következőből: 32.

$$x=\frac{4}{8}$$

A törtet (\frac{4}{8}) leegyszerűsítjük 4 kivonásával és kiejtésével.

$$x=\frac{1}{2}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{15}{2} x=\frac{1}{2}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$4x^{2}-32x+15=0$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 15.

$$4x^{2}-32x+15-15=-15$$

Ha kivonjuk a(z) 15 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$4x^{2}-32x=-15$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 4.

$$\frac{4x^{2}-32x}{4}=-\frac{15}{4}$$

A(z) 4 értékkel való osztás eltünteti a(z) 4 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\left(-\frac{32}{4}\right)x=-\frac{15}{4}$$

-32 elosztása a következővel: 4.

$$x^{2}-8x=-\frac{15}{4}$$

Elosztjuk a(z) -8 értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -4. Ezután hozzáadjuk -4 négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-8x+\left(-4\right)^{2}=-\frac{15}{4}+\left(-4\right)^{2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -4.

$$x^{2}-8x+16=-\frac{15}{4}+16$$

Összeadjuk a következőket: -\frac{15}{4} és 16.

$$x^{2}-8x+16=\frac{49}{4}$$

Tényezőkre x^{2}-8x+16. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-4\right)^{2}=\frac{49}{4}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-4\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{4}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-4=\frac{7}{2} x-4=-\frac{7}{2}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 4.

$$x=\frac{15}{2} x=\frac{1}{2}$$