4x^2-16x+25=0 megoldása

$$4 { x }^{ 2 } -16x+25=0$$

Megoldás a(z) x változóra (complex solution)

$$x=2+\frac{3}{2}i=2+1,5i$$

$$x=2-\frac{3}{2}i=2-1,5i$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$4x^{2}-16x+25=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 4 értéket a-ba, a(z) -16 értéket b-be és a(z) 25 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{\left(-16\right)^{2}-4\times 4\times 25}}{2\times 4}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -16.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{256-4\times 4\times 25}}{2\times 4}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 4.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{256-16\times 25}}{2\times 4}$$

Összeszorozzuk a következőket: -16 és 25.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{256-400}}{2\times 4}$$

Összeadjuk a következőket: 256 és -400.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{-144}}{2\times 4}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: -144.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±12i}{2\times 4}$$

-16 ellentettje 16.

$$x=\frac{16±12i}{2\times 4}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 4.

$$x=\frac{16±12i}{8}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{16±12i}{8}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 16 és 12i.

$$x=\frac{16+12i}{8}$$

16+12i elosztása a következővel: 8.

$$x=2+\frac{3}{2}i$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{16±12i}{8}). ± előjele negatív. 12i kivonása a következőből: 16.

$$x=\frac{16-12i}{8}$$

16-12i elosztása a következővel: 8.

$$x=2-\frac{3}{2}i$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=2+\frac{3}{2}i x=2-\frac{3}{2}i$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$4x^{2}-16x+25=0$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 25.

$$4x^{2}-16x+25-25=-25$$

Ha kivonjuk a(z) 25 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$4x^{2}-16x=-25$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 4.

$$\frac{4x^{2}-16x}{4}=-\frac{25}{4}$$

A(z) 4 értékkel való osztás eltünteti a(z) 4 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\left(-\frac{16}{4}\right)x=-\frac{25}{4}$$

-16 elosztása a következővel: 4.

$$x^{2}-4x=-\frac{25}{4}$$

Elosztjuk a(z) -4 értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -2. Ezután hozzáadjuk -2 négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-4x+\left(-2\right)^{2}=-\frac{25}{4}+\left(-2\right)^{2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -2.

$$x^{2}-4x+4=-\frac{25}{4}+4$$

Összeadjuk a következőket: -\frac{25}{4} és 4.

$$x^{2}-4x+4=-\frac{9}{4}$$

Tényezőkre x^{2}-4x+4. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-2\right)^{2}=-\frac{9}{4}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-2\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{9}{4}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-2=\frac{3}{2}i x-2=-\frac{3}{2}i$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 2.

$$x=2+\frac{3}{2}i x=2-\frac{3}{2}i$$