39x^2+14x-9=0 megoldása

$$39 { x }^{ 2 } +14x-9=0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=-\frac{9}{13}\approx -0,692307692$$

$$x=\frac{1}{3}\approx 0,333333333$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk 39x^{2}+ax+bx-9 alakúvá. A a és b megkereséséhez állítson be egy rendszer-egy rendszert.

$$a+b=14 ab=39\left(-9\right)=-351$$

Mivel a ab negatív, a és b rendelkezik a megfelelő előjel között. Mivel a a+b pozitív, a pozitív szám nagyobb abszolút értéket tartalmaz, mint a negatív érték. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata -351.

$$-1,351 -3,117 -9,39 -13,27$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$-1+351=350 -3+117=114 -9+39=30 -13+27=14$$

A megoldás az a pár, amelynek összege 14.

$$a=-13 b=27$$

Átírjuk az értéket (39x^{2}+14x-9) \left(39x^{2}-13x\right)+\left(27x-9\right) alakban.

$$\left(39x^{2}-13x\right)+\left(27x-9\right)$$

A 13x a második csoportban lévő első és 9 faktort.

$$13x\left(3x-1\right)+9\left(3x-1\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) 3x-1 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(3x-1\right)\left(13x+9\right)$$

Az egyenletmegoldások kereséséhez, a 3x-1=0 és a 13x+9=0.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{9}{13}$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$39x^{2}+14x-9=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 39 értéket a-ba, a(z) 14 értéket b-be és a(z) -9 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-14±\sqrt{14^{2}-4\times 39\left(-9\right)}}{2\times 39}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 14.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-4\times 39\left(-9\right)}}{2\times 39}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 39.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-156\left(-9\right)}}{2\times 39}$$

Összeszorozzuk a következőket: -156 és -9.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196+1404}}{2\times 39}$$

Összeadjuk a következőket: 196 és 1404.

$$x=\frac{-14±\sqrt{1600}}{2\times 39}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 1600.

$$x=\frac{-14±40}{2\times 39}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 39.

$$x=\frac{-14±40}{78}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-14±40}{78}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -14 és 40.

$$x=\frac{26}{78}$$

A törtet (\frac{26}{78}) leegyszerűsítjük 26 kivonásával és kiejtésével.

$$x=\frac{1}{3}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-14±40}{78}). ± előjele negatív. 40 kivonása a következőből: -14.

$$x=-\frac{54}{78}$$

A törtet (\frac{-54}{78}) leegyszerűsítjük 6 kivonásával és kiejtésével.

$$x=-\frac{9}{13}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{9}{13}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$39x^{2}+14x-9=0$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 9.

$$39x^{2}+14x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

Ha kivonjuk a(z) -9 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$39x^{2}+14x=-\left(-9\right)$$

-9 kivonása a következőből: 0.

$$39x^{2}+14x=9$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 39.

$$\frac{39x^{2}+14x}{39}=\frac{9}{39}$$

A(z) 39 értékkel való osztás eltünteti a(z) 39 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\frac{14}{39}x=\frac{9}{39}$$

A törtet (\frac{9}{39}) leegyszerűsítjük 3 kivonásával és kiejtésével.

$$x^{2}+\frac{14}{39}x=\frac{3}{13}$$

Elosztjuk a(z) \frac{14}{39} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye \frac{7}{39}. Ezután hozzáadjuk \frac{7}{39} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}+\frac{14}{39}x+\left(\frac{7}{39}\right)^{2}=\frac{3}{13}+\left(\frac{7}{39}\right)^{2}$$

A(z) \frac{7}{39} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}+\frac{14}{39}x+\frac{49}{1521}=\frac{3}{13}+\frac{49}{1521}$$

\frac{3}{13} és \frac{49}{1521} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}+\frac{14}{39}x+\frac{49}{1521}=\frac{400}{1521}$$

Tényezőkre x^{2}+\frac{14}{39}x+\frac{49}{1521}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x+\frac{7}{39}\right)^{2}=\frac{400}{1521}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{39}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{400}{1521}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x+\frac{7}{39}=\frac{20}{39} x+\frac{7}{39}=-\frac{20}{39}$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{7}{39}.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{9}{13}$$