37x^2-70x+25=0 megoldása

$$37 x ^ { 2 } - 70 x + 25 = 0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x = \frac{10 \sqrt{3} + 35}{37} \approx 1,414067786$$

$$x=\frac{35-10\sqrt{3}}{37}\approx 0,477824106$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$37x^{2}-70x+25=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 37 értéket a-ba, a(z) -70 értéket b-be és a(z) 25 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-70\right)±\sqrt{\left(-70\right)^{2}-4\times 37\times 25}}{2\times 37}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -70.

$$x=\frac{-\left(-70\right)±\sqrt{4900-4\times 37\times 25}}{2\times 37}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 37.

$$x=\frac{-\left(-70\right)±\sqrt{4900-148\times 25}}{2\times 37}$$

Összeszorozzuk a következőket: -148 és 25.

$$x=\frac{-\left(-70\right)±\sqrt{4900-3700}}{2\times 37}$$

Összeadjuk a következőket: 4900 és -3700.

$$x=\frac{-\left(-70\right)±\sqrt{1200}}{2\times 37}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 1200.

$$x=\frac{-\left(-70\right)±20\sqrt{3}}{2\times 37}$$

-70 ellentettje 70.

$$x=\frac{70±20\sqrt{3}}{2\times 37}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 37.

$$x=\frac{70±20\sqrt{3}}{74}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{70±20\sqrt{3}}{74}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 70 és 20\sqrt{3}.

$$x=\frac{20\sqrt{3}+70}{74}$$

70+20\sqrt{3} elosztása a következővel: 74.

$$x=\frac{10\sqrt{3}+35}{37}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{70±20\sqrt{3}}{74}). ± előjele negatív. 20\sqrt{3} kivonása a következőből: 70.

$$x=\frac{70-20\sqrt{3}}{74}$$

70-20\sqrt{3} elosztása a következővel: 74.

$$x=\frac{35-10\sqrt{3}}{37}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{10\sqrt{3}+35}{37} x=\frac{35-10\sqrt{3}}{37}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$37x^{2}-70x+25=0$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 25.

$$37x^{2}-70x+25-25=-25$$

Ha kivonjuk a(z) 25 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$37x^{2}-70x=-25$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 37.

$$\frac{37x^{2}-70x}{37}=-\frac{25}{37}$$

A(z) 37 értékkel való osztás eltünteti a(z) 37 értékkel való szorzást.

$$x^{2}-\frac{70}{37}x=-\frac{25}{37}$$

Elosztjuk a(z) -\frac{70}{37} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{35}{37}. Ezután hozzáadjuk -\frac{35}{37} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-\frac{70}{37}x+\left(-\frac{35}{37}\right)^{2}=-\frac{25}{37}+\left(-\frac{35}{37}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{35}{37} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-\frac{70}{37}x+\frac{1225}{1369}=-\frac{25}{37}+\frac{1225}{1369}$$

-\frac{25}{37} és \frac{1225}{1369} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}-\frac{70}{37}x+\frac{1225}{1369}=\frac{300}{1369}$$

Tényezőkre x^{2}-\frac{70}{37}x+\frac{1225}{1369}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-\frac{35}{37}\right)^{2}=\frac{300}{1369}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{35}{37}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{300}{1369}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{35}{37}=\frac{10\sqrt{3}}{37} x-\frac{35}{37}=-\frac{10\sqrt{3}}{37}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{35}{37}.

$$x=\frac{10\sqrt{3}+35}{37} x=\frac{35-10\sqrt{3}}{37}$$