3(x-1)-(x-3)div5(x-2)=18 megoldása

$$3(x-1)-(x-3) \div 5(x-2)=18$$

Megoldás a(z) x változóra (complex solution)

$$x=10+\sqrt{11}i\approx 10+3,31662479i$$

$$x=-\sqrt{11}i+10\approx 10-3,31662479i$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk a következővel: 5.

$$15\left(x-1\right)-\left(x-3\right)\left(x-2\right)=90$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: 15 és x-1.

$$15x-15-\left(x-3\right)\left(x-2\right)=90$$

Felhasználjuk a disztributivitást úgy, hogy a kifejezés (x-3) minden tagját megszorozzuk a másik kifejezés (x-2) minden tagjával.

$$15x-15-\left(x^{2}-2x-3x+6\right)=90$$

Összevonjuk a következőket: -2x és -3x. Az eredmény -5x.

$$15x-15-\left(x^{2}-5x+6\right)=90$$

x^{2}-5x+6 ellentettjének meghatározásához megkeressük az egyes tagok ellentettjét.

$$15x-15-x^{2}-\left(-5x\right)-6=90$$

-5x ellentettje 5x.

$$15x-15-x^{2}+5x-6=90$$

Összevonjuk a következőket: 15x és 5x. Az eredmény 20x.

$$20x-15-x^{2}-6=90$$

Kivonjuk a(z) 6 értékből a(z) -15 értéket. Az eredmény -21.

$$20x-21-x^{2}=90$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 90.

$$20x-21-x^{2}-90=0$$

Kivonjuk a(z) 90 értékből a(z) -21 értéket. Az eredmény -111.

$$20x-111-x^{2}=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$-x^{2}+20x-111=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) -1 értéket a-ba, a(z) 20 értéket b-be és a(z) -111 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-20±\sqrt{20^{2}-4\left(-1\right)\left(-111\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 20.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-4\left(-1\right)\left(-111\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és -1.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400+4\left(-111\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: 4 és -111.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-444}}{2\left(-1\right)}$$

Összeadjuk a következőket: 400 és -444.

$$x=\frac{-20±\sqrt{-44}}{2\left(-1\right)}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: -44.

$$x=\frac{-20±2\sqrt{11}i}{2\left(-1\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és -1.

$$x=\frac{-20±2\sqrt{11}i}{-2}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-20±2\sqrt{11}i}{-2}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -20 és 2i\sqrt{11}.

$$x=\frac{-20+2\sqrt{11}i}{-2}$$

-20+2i\sqrt{11} elosztása a következővel: -2.

$$x=-\sqrt{11}i+10$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-20±2\sqrt{11}i}{-2}). ± előjele negatív. 2i\sqrt{11} kivonása a következőből: -20.

$$x=\frac{-2\sqrt{11}i-20}{-2}$$

-20-2i\sqrt{11} elosztása a következővel: -2.

$$x=10+\sqrt{11}i$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=-\sqrt{11}i+10 x=10+\sqrt{11}i$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk a következővel: 5.

$$15\left(x-1\right)-\left(x-3\right)\left(x-2\right)=90$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: 15 és x-1.

$$15x-15-\left(x-3\right)\left(x-2\right)=90$$

Felhasználjuk a disztributivitást úgy, hogy a kifejezés (x-3) minden tagját megszorozzuk a másik kifejezés (x-2) minden tagjával.

$$15x-15-\left(x^{2}-2x-3x+6\right)=90$$

Összevonjuk a következőket: -2x és -3x. Az eredmény -5x.

$$15x-15-\left(x^{2}-5x+6\right)=90$$

x^{2}-5x+6 ellentettjének meghatározásához megkeressük az egyes tagok ellentettjét.

$$15x-15-x^{2}-\left(-5x\right)-6=90$$

-5x ellentettje 5x.

$$15x-15-x^{2}+5x-6=90$$

Összevonjuk a következőket: 15x és 5x. Az eredmény 20x.

$$20x-15-x^{2}-6=90$$

Kivonjuk a(z) 6 értékből a(z) -15 értéket. Az eredmény -21.

$$20x-21-x^{2}=90$$

Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: 21.

$$20x-x^{2}=90+21$$

Összeadjuk a következőket: 90 és 21. Az eredmény 111.

$$20x-x^{2}=111$$

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$-x^{2}+20x=111$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: -1.

$$\frac{-x^{2}+20x}{-1}=\frac{111}{-1}$$

A(z) -1 értékkel való osztás eltünteti a(z) -1 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\frac{20}{-1}x=\frac{111}{-1}$$

20 elosztása a következővel: -1.

$$x^{2}-20x=\frac{111}{-1}$$

111 elosztása a következővel: -1.

$$x^{2}-20x=-111$$

Elosztjuk a(z) -20 értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -10. Ezután hozzáadjuk -10 négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-20x+\left(-10\right)^{2}=-111+\left(-10\right)^{2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -10.

$$x^{2}-20x+100=-111+100$$

Összeadjuk a következőket: -111 és 100.

$$x^{2}-20x+100=-11$$

Tényezőkre x^{2}-20x+100. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-10\right)^{2}=-11$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-10\right)^{2}}=\sqrt{-11}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-10=\sqrt{11}i x-10=-\sqrt{11}i$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 10.

$$x=10+\sqrt{11}i x=-\sqrt{11}i+10$$