3z^2+38z-13=0 megoldása

$$3 z ^ { 2 } + 38 z - 13 = 0$$

Megoldás a(z) z változóra

$$z=-13$$

$$z=\frac{1}{3}\approx 0,333333333$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk 3z^{2}+az+bz-13 alakúvá. A a és b megkereséséhez állítson be egy rendszer-egy rendszert.

$$a+b=38 ab=3\left(-13\right)=-39$$

Mivel a ab negatív, a és b rendelkezik a megfelelő előjel között. Mivel a a+b pozitív, a pozitív szám nagyobb abszolút értéket tartalmaz, mint a negatív érték. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata -39.

$$-1,39 -3,13$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$-1+39=38 -3+13=10$$

A megoldás az a pár, amelynek összege 38.

$$a=-1 b=39$$

Átírjuk az értéket (3z^{2}+38z-13) \left(3z^{2}-z\right)+\left(39z-13\right) alakban.

$$\left(3z^{2}-z\right)+\left(39z-13\right)$$

A z a második csoportban lévő első és 13 faktort.

$$z\left(3z-1\right)+13\left(3z-1\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) 3z-1 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(3z-1\right)\left(z+13\right)$$

Az egyenletmegoldások kereséséhez, a 3z-1=0 és a z+13=0.

$$z=\frac{1}{3} z=-13$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$3z^{2}+38z-13=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 3 értéket a-ba, a(z) 38 értéket b-be és a(z) -13 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$z=\frac{-38±\sqrt{38^{2}-4\times 3\left(-13\right)}}{2\times 3}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 38.

$$z=\frac{-38±\sqrt{1444-4\times 3\left(-13\right)}}{2\times 3}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 3.

$$z=\frac{-38±\sqrt{1444-12\left(-13\right)}}{2\times 3}$$

Összeszorozzuk a következőket: -12 és -13.

$$z=\frac{-38±\sqrt{1444+156}}{2\times 3}$$

Összeadjuk a következőket: 1444 és 156.

$$z=\frac{-38±\sqrt{1600}}{2\times 3}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 1600.

$$z=\frac{-38±40}{2\times 3}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 3.

$$z=\frac{-38±40}{6}$$

Megoldjuk az egyenletet (z=\frac{-38±40}{6}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -38 és 40.

$$z=\frac{2}{6}$$

A törtet (\frac{2}{6}) leegyszerűsítjük 2 kivonásával és kiejtésével.

$$z=\frac{1}{3}$$

Megoldjuk az egyenletet (z=\frac{-38±40}{6}). ± előjele negatív. 40 kivonása a következőből: -38.

$$z=-\frac{78}{6}$$

-78 elosztása a következővel: 6.

$$z=-13$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$z=\frac{1}{3} z=-13$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$3z^{2}+38z-13=0$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 13.

$$3z^{2}+38z-13-\left(-13\right)=-\left(-13\right)$$

Ha kivonjuk a(z) -13 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$3z^{2}+38z=-\left(-13\right)$$

-13 kivonása a következőből: 0.

$$3z^{2}+38z=13$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 3.

$$\frac{3z^{2}+38z}{3}=\frac{13}{3}$$

A(z) 3 értékkel való osztás eltünteti a(z) 3 értékkel való szorzást.

$$z^{2}+\frac{38}{3}z=\frac{13}{3}$$

Elosztjuk a(z) \frac{38}{3} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye \frac{19}{3}. Ezután hozzáadjuk \frac{19}{3} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$z^{2}+\frac{38}{3}z+\left(\frac{19}{3}\right)^{2}=\frac{13}{3}+\left(\frac{19}{3}\right)^{2}$$

A(z) \frac{19}{3} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$z^{2}+\frac{38}{3}z+\frac{361}{9}=\frac{13}{3}+\frac{361}{9}$$

\frac{13}{3} és \frac{361}{9} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$z^{2}+\frac{38}{3}z+\frac{361}{9}=\frac{400}{9}$$

Tényezőkre z^{2}+\frac{38}{3}z+\frac{361}{9}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(z+\frac{19}{3}\right)^{2}=\frac{400}{9}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(z+\frac{19}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{400}{9}}$$

Egyszerűsítünk.

$$z+\frac{19}{3}=\frac{20}{3} z+\frac{19}{3}=-\frac{20}{3}$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{19}{3}.

$$z=\frac{1}{3} z=-13$$