3x-6x^2=-108 megoldása

$$3 x - 6 x ^ { 2 } = - 108$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x = \frac{9}{2} = 4\frac{1}{2} = 4,5$$

$$x=-4$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: 108.

$$3x-6x^{2}+108=0$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 3.

$$x-2x^{2}+36=0$$

Átrendezzük a polinomot, kanonikus formára hozva azt. A tagokat sorba rendezzük a legnagyobb kitevőjűtől a legkisebb kitevőjűig.

$$-2x^{2}+x+36=0$$

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk -2x^{2}+ax+bx+36 alakúvá. A a és b megkereséséhez állítson be egy rendszer-egy rendszert.

$$a+b=1 ab=-2\times 36=-72$$

Mivel a ab negatív, a és b rendelkezik a megfelelő előjel között. Mivel a a+b pozitív, a pozitív szám nagyobb abszolút értéket tartalmaz, mint a negatív érték. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata -72.

$$-1,72 -2,36 -3,24 -4,18 -6,12 -8,9$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$-1+72=71 -2+36=34 -3+24=21 -4+18=14 -6+12=6 -8+9=1$$

A megoldás az a pár, amelynek összege 1.

$$a=9 b=-8$$

Átírjuk az értéket (-2x^{2}+x+36) \left(-2x^{2}+9x\right)+\left(-8x+36\right) alakban.

$$\left(-2x^{2}+9x\right)+\left(-8x+36\right)$$

A -x a második csoportban lévő első és -4 faktort.

$$-x\left(2x-9\right)-4\left(2x-9\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) 2x-9 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(2x-9\right)\left(-x-4\right)$$

Az egyenletmegoldások kereséséhez, a 2x-9=0 és a -x-4=0.

$$x=\frac{9}{2} x=-4$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$-6x^{2}+3x=-108$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 108.

$$-6x^{2}+3x-\left(-108\right)=-108-\left(-108\right)$$

Ha kivonjuk a(z) -108 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$-6x^{2}+3x-\left(-108\right)=0$$

-108 kivonása a következőből: 0.

$$-6x^{2}+3x+108=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) -6 értéket a-ba, a(z) 3 értéket b-be és a(z) 108 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-6\right)\times 108}}{2\left(-6\right)}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 3.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-6\right)\times 108}}{2\left(-6\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és -6.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+24\times 108}}{2\left(-6\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: 24 és 108.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+2592}}{2\left(-6\right)}$$

Összeadjuk a következőket: 9 és 2592.

$$x=\frac{-3±\sqrt{2601}}{2\left(-6\right)}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 2601.

$$x=\frac{-3±51}{2\left(-6\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és -6.

$$x=\frac{-3±51}{-12}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-3±51}{-12}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -3 és 51.

$$x=\frac{48}{-12}$$

48 elosztása a következővel: -12.

$$x=-4$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-3±51}{-12}). ± előjele negatív. 51 kivonása a következőből: -3.

$$x=-\frac{54}{-12}$$

A törtet (\frac{-54}{-12}) leegyszerűsítjük 6 kivonásával és kiejtésével.

$$x=\frac{9}{2}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=-4 x=\frac{9}{2}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$-6x^{2}+3x=-108$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: -6.

$$\frac{-6x^{2}+3x}{-6}=-\frac{108}{-6}$$

A(z) -6 értékkel való osztás eltünteti a(z) -6 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\frac{3}{-6}x=-\frac{108}{-6}$$

A törtet (\frac{3}{-6}) leegyszerűsítjük 3 kivonásával és kiejtésével.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=-\frac{108}{-6}$$

-108 elosztása a következővel: -6.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=18$$

Elosztjuk a(z) -\frac{1}{2} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{1}{4}. Ezután hozzáadjuk -\frac{1}{4} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}=18+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{1}{4} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=18+\frac{1}{16}$$

Összeadjuk a következőket: 18 és \frac{1}{16}.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{289}{16}$$

Tényezőkre x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{289}{16}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{289}{16}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{1}{4}=\frac{17}{4} x-\frac{1}{4}=-\frac{17}{4}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{1}{4}.

$$x=\frac{9}{2} x=-4$$