3x^4+24x^3+48x^2-x^2-8x-16 megoldása

$$3 x ^ { 4 } + 24 x ^ { 3 } + 48 x ^ { 2 } - x ^ { 2 } - 8 x - 16$$

Szorzattá alakítás

$$\left(3x^{2}-1\right)\left(x+4\right)^{2}$$

A megoldás lépései

Elvégezzük a szorzást, és összevonjuk az egynemű tagokat.

$$3x^{4}+24x^{3}+47x^{2}-8x-16$$

A kifejezés tényezőkre bontásához megoldjuk az egyenletet úgy, hogy 0 legyen az eredménye.

$$3x^{4}+24x^{3}+47x^{2}-8x-16=0$$

A Rolle-féle gyöktétel alapján, a polinom összes racionális gyöke \frac{p}{q} formájú, ahol p osztója a(z) -16 állandónak, és q osztója a(z) 3 főegyütthatónak. Az összes lehetséges \frac{p}{q} listázása.

$$±\frac{16}{3},±16,±\frac{8}{3},±8,±\frac{4}{3},±4,±\frac{2}{3},±2,±\frac{1}{3},±1$$

Keresünk egy ilyen gyököt úgy, hogy az összes egész értékkel próbálkozunk, az abszolút érték szerinti legkisebbel kezdve. Ha nincs találat egész gyökökre, törtekkel próbálkozunk tovább.

$$x=-4$$

A faktorizációs tétel alapján a(z) x-k minden k gyök esetén osztója a polinomnak. Elosztjuk a(z) 3x^{4}+24x^{3}+47x^{2}-8x-16 értéket a(z) x+4 értékkel. Az eredmény 3x^{3}+12x^{2}-x-4. Az eredmény tényezőkre bontásához megoldjuk az egyenletet úgy, hogy 0 legyen az eredménye.

$$3x^{3}+12x^{2}-x-4=0$$

A Rolle-féle gyöktétel alapján, a polinom összes racionális gyöke \frac{p}{q} formájú, ahol p osztója a(z) -4 állandónak, és q osztója a(z) 3 főegyütthatónak. Az összes lehetséges \frac{p}{q} listázása.

$$±\frac{4}{3},±4,±\frac{2}{3},±2,±\frac{1}{3},±1$$

Keresünk egy ilyen gyököt úgy, hogy az összes egész értékkel próbálkozunk, az abszolút érték szerinti legkisebbel kezdve. Ha nincs találat egész gyökökre, törtekkel próbálkozunk tovább.

$$x=-4$$

A faktorizációs tétel alapján a(z) x-k minden k gyök esetén osztója a polinomnak. Elosztjuk a(z) 3x^{3}+12x^{2}-x-4 értéket a(z) x+4 értékkel. Az eredmény 3x^{2}-1. Az eredmény tényezőkre bontásához megoldjuk az egyenletet úgy, hogy 0 legyen az eredménye.

$$3x^{2}-1=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Behelyettesítjük a(z) 3 értéket a-ba, a(z) 0 értéket b-be és a(z) -1 értéket c-be a megoldóképletben.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 3\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

Elvégezzük a számításokat.

$$x=\frac{0±2\sqrt{3}}{6}$$

Megoldjuk az egyenletet (3x^{2}-1=0). ± előjele pozitív, ± előjele pedig negatív.

$$x=-\frac{\sqrt{3}}{3} x=\frac{\sqrt{3}}{3}$$

A tényezőkre bontott kifejezés újraírása az eredményül kapott gyökökkel. A(z) 3x^{2}-1 polinom nincs tényezőkre bontva, mert nem rendelkezik racionális gyökökkel.

$$\left(3x^{2}-1\right)\left(x+4\right)^{2}$$

Kiértékelés

$$\left(3x^{2}-1\right)\left(x+4\right)^{2}$$

A megoldás lépései

Összevonjuk a következőket: 48x^{2} és -x^{2}. Az eredmény 47x^{2}.

$$3x^{4}+24x^{3}+47x^{2}-8x-16$$