3x^2+9x+9=0 megoldása

$$3 x ^ { 2 } + 9 x + 9 = 0$$

Megoldás a(z) x változóra (complex solution)

$$x=\frac{-3+\sqrt{3}i}{2}\approx -1,5+0,866025404i$$

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-3}{2}\approx -1,5-0,866025404i$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$3x^{2}+9x+9=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 3 értéket a-ba, a(z) 9 értéket b-be és a(z) 9 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 3\times 9}}{2\times 3}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 9.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 3\times 9}}{2\times 3}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 3.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-12\times 9}}{2\times 3}$$

Összeszorozzuk a következőket: -12 és 9.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-108}}{2\times 3}$$

Összeadjuk a következőket: 81 és -108.

$$x=\frac{-9±\sqrt{-27}}{2\times 3}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: -27.

$$x=\frac{-9±3\sqrt{3}i}{2\times 3}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 3.

$$x=\frac{-9±3\sqrt{3}i}{6}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-9±3\sqrt{3}i}{6}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -9 és 3i\sqrt{3}.

$$x=\frac{-9+3\sqrt{3}i}{6}$$

-9+3i\sqrt{3} elosztása a következővel: 6.

$$x=\frac{-3+\sqrt{3}i}{2}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-9±3\sqrt{3}i}{6}). ± előjele negatív. 3i\sqrt{3} kivonása a következőből: -9.

$$x=\frac{-3\sqrt{3}i-9}{6}$$

-9-3i\sqrt{3} elosztása a következővel: 6.

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-3}{2}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{-3+\sqrt{3}i}{2} x=\frac{-\sqrt{3}i-3}{2}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$3x^{2}+9x+9=0$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 9.

$$3x^{2}+9x+9-9=-9$$

Ha kivonjuk a(z) 9 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$3x^{2}+9x=-9$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 3.

$$\frac{3x^{2}+9x}{3}=-\frac{9}{3}$$

A(z) 3 értékkel való osztás eltünteti a(z) 3 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\frac{9}{3}x=-\frac{9}{3}$$

9 elosztása a következővel: 3.

$$x^{2}+3x=-\frac{9}{3}$$

-9 elosztása a következővel: 3.

$$x^{2}+3x=-3$$

Elosztjuk a(z) 3 értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye \frac{3}{2}. Ezután hozzáadjuk \frac{3}{2} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=-3+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

A(z) \frac{3}{2} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=-3+\frac{9}{4}$$

Összeadjuk a következőket: -3 és \frac{9}{4}.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=-\frac{3}{4}$$

Tényezőkre x^{2}+3x+\frac{9}{4}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=-\frac{3}{4}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{3}{4}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x+\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{3}i}{2} x+\frac{3}{2}=-\frac{\sqrt{3}i}{2}$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{3}{2}.

$$x=\frac{-3+\sqrt{3}i}{2} x=\frac{-\sqrt{3}i-3}{2}$$