3r^2-24r=-45 megoldása

$$3 r ^ { 2 } - 24 r = - 45$$

Megoldás a(z) r változóra

$$r=3$$

$$r=5$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: 45.

$$3r^{2}-24r+45=0$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 3.

$$r^{2}-8r+15=0$$

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk r^{2}+ar+br+15 alakúvá. A a és b megkereséséhez állítson be egy rendszer-egy rendszert.

$$a+b=-8 ab=1\times 15=15$$

Mivel ab pozitív, a és b azonos aláírására. Mivel a a+b negatív, a és b negatív. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata 15.

$$-1,-15 -3,-5$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$-1-15=-16 -3-5=-8$$

A megoldás az a pár, amelynek összege -8.

$$a=-5 b=-3$$

Átírjuk az értéket (r^{2}-8r+15) \left(r^{2}-5r\right)+\left(-3r+15\right) alakban.

$$\left(r^{2}-5r\right)+\left(-3r+15\right)$$

A r a második csoportban lévő első és -3 faktort.

$$r\left(r-5\right)-3\left(r-5\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) r-5 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(r-5\right)\left(r-3\right)$$

Az egyenletmegoldások kereséséhez, a r-5=0 és a r-3=0.

$$r=5 r=3$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$3r^{2}-24r=-45$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 45.

$$3r^{2}-24r-\left(-45\right)=-45-\left(-45\right)$$

Ha kivonjuk a(z) -45 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$3r^{2}-24r-\left(-45\right)=0$$

-45 kivonása a következőből: 0.

$$3r^{2}-24r+45=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 3 értéket a-ba, a(z) -24 értéket b-be és a(z) 45 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$r=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{\left(-24\right)^{2}-4\times 3\times 45}}{2\times 3}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -24.

$$r=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-4\times 3\times 45}}{2\times 3}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 3.

$$r=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-12\times 45}}{2\times 3}$$

Összeszorozzuk a következőket: -12 és 45.

$$r=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-540}}{2\times 3}$$

Összeadjuk a következőket: 576 és -540.

$$r=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{36}}{2\times 3}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 36.

$$r=\frac{-\left(-24\right)±6}{2\times 3}$$

-24 ellentettje 24.

$$r=\frac{24±6}{2\times 3}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 3.

$$r=\frac{24±6}{6}$$

Megoldjuk az egyenletet (r=\frac{24±6}{6}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 24 és 6.

$$r=\frac{30}{6}$$

30 elosztása a következővel: 6.

$$r=5$$

Megoldjuk az egyenletet (r=\frac{24±6}{6}). ± előjele negatív. 6 kivonása a következőből: 24.

$$r=\frac{18}{6}$$

18 elosztása a következővel: 6.

$$r=3$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$r=5 r=3$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$3r^{2}-24r=-45$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 3.

$$\frac{3r^{2}-24r}{3}=-\frac{45}{3}$$

A(z) 3 értékkel való osztás eltünteti a(z) 3 értékkel való szorzást.

$$r^{2}+\left(-\frac{24}{3}\right)r=-\frac{45}{3}$$

-24 elosztása a következővel: 3.

$$r^{2}-8r=-\frac{45}{3}$$

-45 elosztása a következővel: 3.

$$r^{2}-8r=-15$$

Elosztjuk a(z) -8 értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -4. Ezután hozzáadjuk -4 négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$r^{2}-8r+\left(-4\right)^{2}=-15+\left(-4\right)^{2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -4.

$$r^{2}-8r+16=-15+16$$

Összeadjuk a következőket: -15 és 16.

$$r^{2}-8r+16=1$$

Tényezőkre r^{2}-8r+16. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(r-4\right)^{2}=1$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(r-4\right)^{2}}=\sqrt{1}$$

Egyszerűsítünk.

$$r-4=1 r-4=-1$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 4.

$$r=5 r=3$$